Justifique se é ou não diagonalizável. Caso positivo, exiba a sua forma diagonal e a base que diagonaliza .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear definida por
Queremos verificar se é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de formada por vetores próprios de . Para isso, vamos passar pela matriz associada, calcular seus autovalores e autovetores, comparar multiplicidades algébricas e geométricas, e, se possível, exibir a diagonalização.
Passo 2
Em relação à base canônica, a matriz de é
Note que A é blocada em um bloco 2times2 na primeira e segunda coordenadas e um escalar -1 na terceira.
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de A. Como é bloco-diagonal,
E na terceira coordenada vale identicamente, então qualquer valor de funciona. Assim a multiplicidade geométrica de é 2 e podemos escolher, por exemplo,
Passo 5
Como encontramos três autovetores linearmente independentes v1,v2,v3, a dimensão do espaço gerado por eles é 3, igual à dimensão de R^3. Portanto T é diagonalizável.