Seja uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que
T(x, y, z)=(lll x-2 y, & -2 x+y, & -z )
Justifique se T é ou não diagonalizável. Caso positivo, exiba a sua forma diagonal e a base que diagonaliza T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x-2y,,-2x+y,,-z,)
Queremos verificar se T é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de R^3 formada por vetores próprios de T. Para isso, vamos passar pela matriz associada, calcular seus autovalores e autovetores, comparar multiplicidades algébricas e geométricas, e, se possível, exibir a diagonalização.

Passo 2

Em relação à base canônica, a matriz de T é
A = 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1
Note que A é blocada em um bloco 2times2 na primeira e segunda coordenadas e um escalar -1 na terceira.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A. Como é bloco-diagonal,
det(A-lambda I) = det1-lambda & -2 -2 & 1-lambda,detl(-1-lambdar)
No bloco 2times2 temos
det1-lambda & -2 -2 & 1-lambda =(1-lambda)^2-4 =lambda^2-2lambda-3 =(lambda-3)(lambda+1)
Logo
det(A-lambda I) =(lambda-3)(lambda+1),(-1-lambda) =-(lambda-3)(lambda+1)^2
Os autovalores são
lambda1 = 3(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = -1(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Agora os autovetores:
Para , resolvemos nas primeiras duas coordenadas:
Podemos escolher o autovetor
Para , nas duas primeiras coordenadas temos
E na terceira coordenada vale identicamente, então qualquer valor de funciona. Assim a multiplicidade geométrica de é 2 e podemos escolher, por exemplo,

Passo 5

Como encontramos três autovetores linearmente independentes v1,v2,v3, a dimensão do espaço gerado por eles é 3, igual à dimensão de R^3. Portanto T é diagonalizável.
Na base B=v1,v2,v3 obtemos a forma diagonal
[T]B = 3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

Sim, T é diagonalizável. A matriz diagonal é
3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
na base de autovetores
l(1,-1,0),,(1,1,0),,(0,0,1)r

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