Seja uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que
T(x, y, z)=(lll x-2 y, & -2 x+y, & -z )
Determine os autovetores e os autoespaços de T.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores, autovetores e autoespaços da transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-2y,,-2x+y,,-z)
O que faremos é escrever a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores lambda, e em seguida resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda a fim de obter os autovetores e os autoespaços.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & -2 & 0 -2 & 1-lambda & 0 0 & 0 & -1-lambda =l((1-lambda)^2 -4r),(-1-lambda)
Logo
(1-lambda)^2 -4 = lambda^2 -2lambda -3=(lambda-3)(lambda+1),
portanto
det(A-lambda I)=(lambda-3)(lambda+1)^2
Os autovalores são lambda1=3 (simples) e lambda2=-1 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para
Dessas equações vem . Logo os autovetores são todos múltiplos de
e o autoespaço associado a é

Passo 4

Para
Dessas equações vem livre. Portanto, um sistema de geradores para o autoespaço é dado por
e

Resposta

Autovalores e autoespaços de T:
lambda=3:
Eigenspace E3 = span(1,-1,0)
lambda=-1:
Eigenspace E-1 = span(1,1,0),,(0,0,1)

Exercícios relacionados