Considere espaço vetorial real (M2(R),+, cdot) munido do produto interno do Exercício 3.
O operador linear T: M2(R) M2(R) dado por T(A)=A^t, para A in M2(R) é uma isometria no espaço euclidiano considerado?

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial M2(R) equipado com o produto interno do Exercício 3 e do operador linear
Tcolon M2(R)to M2(R), T(A)=A^t
Queremos verificar se T é uma isometria, isto é, se ela preserva norma (ou, equivalentemente, o produto interno).

Passo 2

Lembrando que, no Exercício 3, o produto interno em M2(R) é o usual de Frobenius:
lang<= X,Yrang<= = trl(X^tYr),
e a norma associada é
|X| = raizlang<= X,Xrang<=,
Por definição, T é isometria se
|T(A)| = |A|forall A
ou, de forma equivalente,
lang<= T(A),T(B)rang<= = lang<= A,Brang<=forall A,B

Passo 3

Vamos checar diretamente a preservação do produto interno. Para A,Bin M2(R),
lang<= T(A),T(B)rang<= = llang<= A^t,,B^trrang<= = trl((A^t)^t,B^tr) = trl(A,B^tr)
Usamos aqui (A^t)^t=A.

Passo 4

Agora basta usar propriedades da traça:
trl(A,B^tr) = trl(l(A,B^tr)^tr) = trl(B,A^tr) = trl(A^t,Br) = lang<= A,Brang<=
Logo
lang<= T(A),T(B)rang<= = lang<= A,Brang<= forall A,B,
o que implica |T(A)|=|A| e, portanto, T é mesmo uma isometria.

Resposta

Sim, T(A)=A^t é isometria em l(M2(R),lang<=cdot,cdotrang<=r).

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