Considere espaço vetorial real
munido do produto interno do Exercício 3.
O operador linear
dado por
, para
é uma isometria no espaço euclidiano considerado?
O operador linear
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial
equipado com o produto interno do Exercício 3 e do operador linear
Queremos verificar se
é uma isometria, isto é, se ela preserva norma (ou, equivalentemente, o produto interno).
Passo 2
Lembrando que, no Exercício 3, o produto interno em
é o usual de Frobenius:
e a norma associada é
Por definição,
é isometria se
ou, de forma equivalente,
Passo 3
Vamos checar diretamente a preservação do produto interno. Para
,
Usamos aqui
.
Passo 4
Agora basta usar propriedades da traça:
Logo
o que implica
e, portanto,
é mesmo uma isometria.
Resposta
Sim,
é isometria em
.