(8 pts.) Obter a equação geral do plano que passa pelo ponto (1,2,3) e é paralelo ao plano 2x - y + 3z = 1 (se possível, use os três eixos).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por (1,2,3) e é paralelo ao plano dado. O conteúdo envolvido é a forma geral de um plano em R^3:
Ax + By + Cz + D = 0
onde (A,B,C) é o vetor normal. Planos paralelos têm vetores normais proporcionais.

Passo 2

O plano dado é
2x - y + 3z = 1
e seu vetor normal é (2,-1,3). Logo o plano buscado tem a mesma normal, isto é, pode ser escrito como
2x - y + 3z + D = 0
para alguma constante D.

Passo 3

Para determinar D, usamos o ponto (1,2,3). Substituindo na equação
2cdot 1 ;-; 2 ;+; 3cdot 3 ;+; D ;=; 0
temos
2 - 2 + 9 + D = 0 Longrightarrow D = -9

Passo 4

Portanto a forma geral do plano é
2x - y + 3z - 9 = 0

Passo 5

Para expressar em forma de interceptos com os eixos:
No eixo x fazemos y=0 e z=0, obtendo 2x=9 e x=9/2.
No eixo y fazemos x=0 e z=0, obtendo -y=9 e y=-9.
No eixo z fazemos x=0 e y=0, obtendo 3z=9 e z=3.
Assim a forma interceptiva é
x9/2 ;+;y-9;+;z3 ;=;1

Resposta

2x - y + 3z - 9 = 0

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