Considere o espaço vetorial real (R^2,+, cdot) munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Verfique quais dos operadores lineares T: R^2 R^2 abaixo são isometrias de R^2 :
(a) T(x, y)=(x+y, x-y), para (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(x+y,;x-y)
é uma isometria quando usamos o produto interno usual em R^2. Precisamos lembrar que, em espaços com produto interno, um operador linear é isometria se e somente se ele preserva normas (ou produto interno), o que na prática dá a condição matricial A^T A = I.

Passo 2

Vamos escrever em coordenadas padrão. Se , então
Ou seja, a matriz de na base canônica é

Passo 3

O operador T é isometria se, para todo v, tivermos
|T(v)| = |v|. Matricialmente, isso equivale a
A^T A = I2,
pois então
|T(v)|^2 = v^T A^T A,v = v^T I2,v = |v|^2.

Passo 4

Vamos calcular A^T A. Como
A^T = 1 & 11 & -1^T = 1 & 11 & -1,
temos
A^T A =1 & 11 & -1 1 & 11 & -1 =1cdot1+1cdot1 & 1cdot1+1cdot(-1)[6pt] 1cdot1+(-1)cdot1 & 1cdot1+(-1)cdot(-1) =2 & 00 & 2 =2I2 ]

Passo 5

Vimos que
A^T A = 2I2 neq I2
Logo |T(v)|^2 = v^T(2I2)v=2|v|^2, ou seja, |T(v)|=raiz2,|v|. Como não preserva a norma original, T não é isometria.

Resposta

O operador T(x,y)=(x+y,x-y) não é uma isometria em R^2 com o produto interno usual.

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