Considere o espaço vetorial real
munido do produto interno
usual. Verfique quais dos operadores lineares
abaixo são isometrias de
:
(a)
, para
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é uma isometria quando usamos o produto interno usual em
. Precisamos lembrar que, em espaços com produto interno, um operador linear é isometria se e somente se ele preserva normas (ou produto interno), o que na prática dá a condição matricial
.
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas padrão. Se
, então
Ou seja, a matriz de
na base canônica é
Passo 3
O operador
é isometria se, para todo
, tivermos
. Matricialmente, isso equivale a
pois então
.
Passo 4
Vamos calcular
. Como
temos
Passo 5
Vimos que
Logo
, ou seja,
. Como não preserva a norma original,
não é isometria.
Resposta
O operador
não é uma isometria em
com o produto interno usual.