Considere o espaço vetorial real
munido do produto interno
usual. Verfique quais dos operadores lineares
abaixo são isometrias de
:
(b)
, para
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é uma isometria em
com o produto interno usual. Lembre que
é isometria se e somente se preserve normas (ou, equivalentemente, o produto interno):
Passo 2
Escrevemos
como multiplicação pela matriz
de modo que
T(v)=A,v . Para mostrar que
A preserva normas, basta verificar que suas colunas são ortonormais, pois então
implica
|Av|^2 = v^T A^T A,v = v^T v = |v|^2 .]
Passo 3
Calculamos norma de cada coluna e o produto interno entre elas:
Primeira coluna
c1=(tfrac12,;tfracraiz32) :
Segunda coluna
c2=(-tfracraiz32,;tfrac12) :
Produto interno
c1cdot c2 :
Como
|ci|=1 e
c1cdot c2=0 , as colunas de
A formam um sistema ortonormal.
Passo 4
Da ortonormalidade das colunas segue
A^TA=I2 , logo para todo
vinR^2
Isto mostra que
T preserva norma (e portanto produto interno), ou seja, é uma isometria.