Considere o espaço vetorial real (R^2,+, cdot) munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Verfique quais dos operadores lineares T: R^2 R^2 abaixo são isometrias de R^2 :
(b) T(x, y)=(12 x-raiz32 y, raiz32 x+12 y), para (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
T(x,y)=l(tfrac12x-tfracraiz32y,;tfracraiz32x+tfrac12yr)
é uma isometria em R^2 com o produto interno usual. Lembre que T é isometria se e somente se preserve normas (ou, equivalentemente, o produto interno):
|T(x,y)| = |(x,y)|forall(x,y)inR^2

Passo 2

Escrevemos T como multiplicação pela matriz
A = tfrac12 & -tfracraiz32 [6pt] tfracraiz32 & tfrac12 ,
de modo que T(v)=A,v. Para mostrar que A preserva normas, basta verificar que suas colunas são ortonormais, pois então
A^T A = I2
implica |Av|^2 = v^T A^T A,v = v^T v = |v|^2.]

Passo 3

Calculamos norma de cada coluna e o produto interno entre elas:
Primeira coluna c1=(tfrac12,;tfracraiz32):
|c1|^2 = l(tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2 = tfrac14 + tfrac34 = 1
Segunda coluna c2=(-tfracraiz32,;tfrac12):
|c2|^2 = l(-tfracraiz32r)^2 + l(tfrac12r)^2 = tfrac34 + tfrac14 = 1
Produto interno c1cdot c2:
c1cdot c2 = tfrac12l(-tfracraiz32r) + tfracraiz32l(tfrac12r) = -tfracraiz34 + tfracraiz34 = 0
Como |ci|=1 e c1cdot c2=0, as colunas de A formam um sistema ortonormal.

Passo 4

Da ortonormalidade das colunas segue A^TA=I2, logo para todo vinR^2
|T(v)|^2 = |Av|^2 = v^T A^T A,v = v^T v = |v|^2
Isto mostra que T preserva norma (e portanto produto interno), ou seja, é uma isometria.

Resposta

T é isometria de R^2.

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