ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS.
Explique o porquê \mathbb{R}^{n-1} não é subespaço vetorial \mathbb{R}^{n}, n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar por que \mathbb{R}^{n-1} não pode ser visto como subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n} quando n\ge2. Vamos usar a definição de subespaço e a noção de conjunto-subconjunto para concluir.

Passo 2

Recordando a definição: um conjunto S é subespaço vetorial de um espaço V se, e somente se,
  1. S\subseteq V;
  2. S contém o vetor zero de V;
  3. S é fechado para soma e multiplicação por escalares.
O passo inicial é checar a condição mais básica: S\subseteq V.

Passo 3

Por definição \mathbb{R}^{n-1}=\{(x_{1},\dots,x_{n-1})\mid x_{i}\in\mathbb{R}\}
e \mathbb{R}^{n}=\{(y_{1},\dots,y_{n})\mid y_{i}\in\mathbb{R}\}.
Os elementos de \mathbb{R}^{n-1} são tuplas de comprimento n-1, enquanto os de \mathbb{R}^{n} têm comprimento n. Logo não faz sentido afirmar que cada vetor de \mathbb{R}^{n-1} também vive em \mathbb{R}^{n}; simplesmente \mathbb{R}^{n-1}\not\subseteq\mathbb{R}^{n}.

Passo 4

Como a condição S\subseteq V já falha, não precisamos nem verificar o vetor zero ou a clausura para operações. Sem ser subconjunto, \mathbb{R}^{n-1} não pode satisfazer as outras propriedades dentro de \mathbb{R}^{n}.

Resposta

\mathbb{R}^{n-1} não é subespaço de \mathbb{R}^{n} porque seus vetores têm dimensão n-1 e, portanto, não pertencem a \mathbb{R}^{n}; isto é, \mathbb{R}^{n-1}\not\subseteq\mathbb{R}^{n}.

Exercícios relacionados