Verificar se:
W=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(7)=f(1)\} é subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) formado por todas as funções f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e o subconjunto
W=\{\,f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(7)=f(1)\}.
Para mostrar que W é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de funções.
  3. W é fechado sob multiplicação de funções por escalares.

Passo 2

Verificamos o vetor zero, que é a função 0\colon x\mapsto 0. Como
0(7)=0=0(1),
essa função satisfaz a condição f(7)=f(1). Portanto, 0\in W.

Passo 3

Tomemos f,g\in W. Então
f(7)=f(1) \quad\text{e}\quad g(7)=g(1).
Para a soma f+g temos
(f+g)(7)=f(7)+g(7) =f(1)+g(1) =(f+g)(1),
logo f+g\in W.

Passo 4

Tomemos f\in W e um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Como f(7)=f(1), então
(\alpha f)(7)=\alpha\,f(7)=\alpha\,f(1)=(\alpha f)(1),
o que mostra que \alpha f\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

Resposta

Sim, W é subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

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