Considere o espaço vetorial real R^2. A matriz da mudança da base ordenada gamma=(1,1),(-2,2), para a base ordenada alpha=v1, v2 é dada por
[cc 1 & 0 4 & -2 ]
Detremine a base ordenada alpha. Determine o elemento u in R^2 tal que [u]alpha=[l1 2].

Passo 1

O enunciado nos dá a base ordenada gamma=g1,g2 com
g1=(1,1), g2=(-2,2),
e declara que a matriz de mudança de coordenadas de gamma para alpha=v1,v2 é
P=1&04&-2,
ou seja, para todo xinR^2 vale
[x]alpha=P,[x]gamma
Isso implica que as colunas de P são [g1]alpha e [g2]alpha.

Passo 2

Como [g1]gamma=(1,0)^T, temos
[g1]alpha=P10 =14,
isto é,
g1=1cdot v1+4cdot v2

Passo 3

Como [g2]gamma=(0,1)^T, temos
[g2]alpha=P01 =0-2,
isto é,
g2=0cdot v1+(-2)cdot v2=-2,v2
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v2=-tfrac12,g2=-tfrac12(-2,2)=(1,-1)

Passo 4

Substituindo v2 em g1=v1+4v2 obtemos
v1=g1-4v2=(1,1)-4(1,-1)=(-3,5)

Passo 5

Para encontrar u tais que [u]alpha=(1,2)^T, escrevemos
u=1cdot v1+2cdot v2=(-3,5)+2(1,-1)=(-3+2,;5-2)=(-1,3)

Resposta

A base alpha é
alpha=,v1=(-3,5),;v2=(1,-1),
e o vetor u com [u]alpha=(1,2)^T é
u=(-1,3)

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