Determine para quais valores de a in R, o sistema
cc x+z & =3 x+2 y+2 z & =6 3 y+(3-a) z & =6
seja possível e determinado.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações em três incógnitas x,y,z, cujo parâmetro é a. O conteúdo é Álgebra Linear: para que um sistema seja possível e determinado (ou seja, tenha solução única), a matriz dos coeficientes deve ser invertível, isto é, seu determinante deve ser não nulo. Vamos montar a matriz e calcular seu determinante.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes ,A e a matriz aumentada apenas para identificar coeficientes.
A = 1 & 0 & 1 1 & 2 & 2 0 & 3 & 3 - a

Passo 3

Calculamos o determinante de A usando a regra de Sarrus (expansão pela primeira linha):
det(A) =1cdot 2 & 2 3 & 3 - a -0cdot(cdots) +1cdot 1 & 2 0 & 3
Agora,
2 & 2 3 & 3 - a =2(3 - a) - 2cdot3 =6 -2a -6 = -2a,
1 & 2 0 & 3 =1cdot3 - 2cdot0 =3
Logo,
det(A) = 1cdot(-2a) + 1cdot3 = -2a + 3 = 3 - 2a

Passo 4

Para existência de solução única precisamos de det(A)neq 0. Assim,
3 - 2a neq 0 Longrightarrow a neq tfrac32

Resposta

O sistema é possível e determinado para todos os valores de a tais que
a neq tfrac32

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