Determinar uma aplicação linear
tal que a dimensão do núcleo é 2 e a dimensão da imagem é 3 . É possível construir uma aplicação
tal que a dimensão do núcleo é 2 e a dimensão da imagem é 2 ?
Passo 1
O enunciado pede para achar uma aplicação linear
com núcleo de dimensão 2 e imagem de dimensão 3, e depois verificar se dá para ter núcleo de dimensão 2 mas imagem de dimensão 2. Vamos usar o teorema da dimensão (teorema do núcleo e da imagem).
Passo 2
Pelo teorema da dimensão temos
. Para ter
e
basta que
, logo é consistente. Uma escolha simples é mandar as três primeiras coordenadas para o corpo alvo e anular as demais:
Passo 3
Definimos
por
Nesse caso o núcleo é dado por
, ou seja, livre em
, logo
, e a imagem é todo
, logo
.
Passo 4
Para a segunda parte, se quiséssemos
e
, teríamos pela mesma conta
, mas o domínio tem dimensão 5, então não bate. Isso viola o teorema da dimensão, portanto não é possível.
Resposta
Um exemplo de aplicação com
e
é
Não é possível ter uma aplicação
com
e
porque
.