Determinar uma aplicação linear T: R^5 R^3 tal que a dimensão do núcleo é 2 e a dimensão da imagem é 3 . É possível construir uma aplicação T: R^5 R^3 tal que a dimensão do núcleo é 2 e a dimensão da imagem é 2 ?

Passo 1

O enunciado pede para achar uma aplicação linear T: R^5 to R^3 com núcleo de dimensão 2 e imagem de dimensão 3, e depois verificar se dá para ter núcleo de dimensão 2 mas imagem de dimensão 2. Vamos usar o teorema da dimensão (teorema do núcleo e da imagem).

Passo 2

Pelo teorema da dimensão temos dim(R^5)=dimker T+dimIm,T. Para ter dimker T=2 e dimIm,T=3 basta que 2+3=5, logo é consistente. Uma escolha simples é mandar as três primeiras coordenadas para o corpo alvo e anular as demais:

Passo 3

Definimos T: R^5toR^3 por
T(x1,x2,x3,x4,x5)=(x1,x2,x3)
Nesse caso o núcleo é dado por x1=x2=x3=0, ou seja, livre em (x4,x5), logo dimker T=2, e a imagem é todo R^3, logo dimIm,T=3.

Passo 4

Para a segunda parte, se quiséssemos dimker T=2 e dimIm,T=2, teríamos pela mesma conta 2+2=4, mas o domínio tem dimensão 5, então não bate. Isso viola o teorema da dimensão, portanto não é possível.

Resposta

Um exemplo de aplicação com dimker T=2 e dimIm,T=3 é
T(x1,x2,x3,x4,x5)=(x1,x2,x3)
Não é possível ter uma aplicação T:R^5toR^3 com dimker T=2 e dimIm,T=2 porque 2+2neq5.

Exercícios relacionados