Considere o operador T: R^3 R^3 cuja matriz na base canônica é
[ccc 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3 ]
Ache a decomposição primária de R^3 e encontre bases para cada um desses subespaços T-invariantes.

Passo 1

A questão pede a decomposição primária de R^3 para o operador T cuja matriz na base canônica é
A=6 & -3 & -24 & -1 & -210 & -5 & -3
O conteúdo que vamos usar inclui polinômio característico, valores próprios, e o teorema da decomposição primária (que diz que
R^3=ker(f1(T)^k1)oplusker(f2(T)^k2)opluscdots para fatores primários do polinômio mínimo).

Passo 2

Para achar os fatores primários, calculamos o polinômio característico de T. Montamos
det(A-lambda I)= 6-lambda & -3 & -24 & -1-lambda & -210 & -5 & -3-lambda= -lambda^3+2lambda^2-lambda+2
Multiplicando por -1 e fatorando, obtemos
chiT(lambda)=lambda^3-2lambda^2+lambda-2=(lambda-2)(lambda^2+1)
Logo os fatores primários são lambda-2 e lambda^2+1.

Passo 3

Pelo teorema da decomposição primária, temos
R^3=kerl((T-2I)r);oplus;kerl(T^2+Ir),
onde cada subespaço é T-invariante.

Passo 4

Agora encontramos ker(T-2I). Resolvendo
(A-2I)x=0 Longrightarrow 4 & -3 & -24 & -3 & -210 & -5 & -5xyz=0,
vemos que a única relação é 4x-3y-2z=0. Tomando x=1,z=2 y=0. Logo
ker(T-2I)=span(1,0,2)
é de dimensão 1.

Passo 5

Para ker(T^2+I), primeiro calculamos
A^2=4 & -5 & 00 & -1 & 010 & -10 & -1,
então
A^2+I=5 & -5 & 00 & 0 & 010 & -10 & 0
Resolvendo (A^2+I)x=0 vem a condição 5x-5y=0, i.e. x=y, com z livre. Podemos escolher as bases
(1,1,0),(0,0,1)
Assim
ker(T^2+I)=span(1,1,0),(0,0,1),
de dimensão 2.

Passo 6

Unindo tudo, a decomposição primária é
R^3=ker(T-2I)oplusker(T^2+I)
com bases dos subespaços T-invariantes como encontramos.

Passo 7

Resposta

A decomposição primária é

com

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