Considere o espaço vetorial real
munido do produto interno
usual. Determine
, de modo que o operador linear
dado por:
seja uma isometria em
.
Passo 1
O enunciado pede para achar
de modo que o operador linear
seja isometria em
com o produto interno usual. Como
é linear, isso equivale a sua matriz em relação à base canônica ser ortogonal, ou seja, suas linhas (ou colunas) formarem um sistema ortonormal.
Passo 2
Identifiquemos as linhas da matriz de
:
Para ortogonalidade basta exigir
-
para . -
sempre que .
Passo 3
Normalizando
:
Para
é necessário
Passo 4
Agora impomos
:
Como
, para zerar o produto escalar precisamos
O sinal negativo não anula
, então descartamos
.
Passo 5
Verificações adicionais mostram que com
as demais normais e ortogonalidades (
,
,
,
) estão satisfeitas, garantindo que a matriz é ortogonal e, portanto,
é isometria.