Considere o espaço vetorial real (R^3,+, cdot) munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Determine m in R, de modo que o operador linear T: R^3 R^3 dado por:
T(x, y, z)=(1raiz3 x+1raiz3 y+m z,-1raiz6 x+2raiz6 y-1raiz6 z,-1raiz2 x+1raiz2 z), para (x, y, z) in R^3
seja uma isometria em (R^3,+, cdot).

Passo 1

O enunciado pede para achar minR de modo que o operador linear
T(x,y,z)=l(tfrac1raiz3x+tfrac1raiz3y+m,z,;-tfrac1raiz6x+tfrac2raiz6y-tfrac1raiz6z,;-tfrac1raiz2x+tfrac1raiz2zr)
seja isometria em R^3 com o produto interno usual. Como T é linear, isso equivale a sua matriz em relação à base canônica ser ortogonal, ou seja, suas linhas (ou colunas) formarem um sistema ortonormal.

Passo 2

Identifiquemos as linhas da matriz de T:
r1=l(tfrac1raiz3,;tfrac1raiz3,;mr), r2=l(-tfrac1raiz6,;tfrac2raiz6,;-tfrac1raiz6r), r3=l(-tfrac1raiz2,;0,;tfrac1raiz2r)
Para ortogonalidade basta exigir
  1. |ri|=1 para i=1,2,3.
  2. ricdot rj=0 sempre que ineq j.

Passo 3

Normalizando r1:
|r1|^2 = l(tfrac1raiz3r)^2+l(tfrac1raiz3r)^2+m^2 =tfrac13+tfrac13+m^2=tfrac23+m^2
Para |r1|=1 é necessário
tfrac23+m^2=1 Longrightarrow m^2=tfrac13 Longrightarrow m=pmtfrac1raiz3

Passo 4

Agora impomos r1cdot r2=0:
r1cdot r2 =tfrac1raiz3l(-tfrac1raiz6r) +tfrac1raiz3l(tfrac2raiz6r) + ml(-tfrac1raiz6r) =tfrac1!3raiz2-tfracmraiz6
Como 1!3raiz2=1raiz18, para zerar o produto escalar precisamos
1raiz18-mraiz6=0 Longrightarrow m=tfrac1raiz3
O sinal negativo não anula r1cdot r2, então descartamos m=-1/raiz3.

Passo 5

Verificações adicionais mostram que com m=1/raiz3 as demais normais e ortogonalidades ( r1cdot r3, r2cdot r3, |r2|, |r3|) estão satisfeitas, garantindo que a matriz é ortogonal e, portanto, T é isometria.

Resposta

m=1raiz3

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