Seja um espaço vetorial real. Em cada um dos itens abaixo, determine as possíveis formas canônicas de Jordan para o operador , cujo polinômio característico é dado por: , para , sabendo que a multiplicidade geométrica de é igual a 1.
Passo 1
O enunciado pede a forma canónica de Jordan de um operador em espaço vetorial real de dimensão , cujo polinômio característico é
e em que se sabe que a multiplicidade geométrica do autovalor é igual a .
Para montar a forma de Jordan precisamos do conceito de: multiplicidade algébrica de um autovalor (expoente no polinômio característico), multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio, que coincide com o número de blocos de Jordan para esse autovalor), blocos de Jordan: um bloco tem tamanho e soma à multiplicidade algébrica de .
Passo 2
Analisamos o autovalor :
– multiplicidade algébrica ,
– multiplicidade geométrica .
Como o número de blocos de Jordan para é igual à multiplicidade geométrica, temos exatamente um bloco. Esse bloco deve ocupar toda a multiplicidade algébrica, logo é um bloco de tamanho , isto é, .
Passo 3
Analisamos o autovalor :
– multiplicidade algébrica ,
– multiplicidade geométrica , mas sempre , logo .
Isto dá um único bloco de tamanho , .
Passo 4
Juntando os blocos em uma matriz em forma de Jordan (sob qualquer ordenação de blocos), obtemos a forma canônica sobre (e como os autovalores são reais, ela vale também sobre ):
Resposta
A forma canônica de Jordan de T é
diagl(J2(2),,J1(5)r) ou seja 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 5