Seja (V,+, cdot) um espaço vetorial real. Em cada um dos itens abaixo, determine as possíveis formas canônicas de Jordan para o operador T in L(V), cujo polinômio característico é dado por:
pT(lambda)=(lambda-2)^2(lambda-5), para lambda in C, sabendo que a multiplicidade geométrica de lambda=2 é igual a 1.

Passo 1

O enunciado pede a forma canónica de Jordan de um operador T em espaço vetorial real de dimensão 3, cujo polinômio característico é
pT(lambda)=(lambda-2)^2(lambda-5),
e em que se sabe que a multiplicidade geométrica do autovalor lambda=2 é igual a 1.
Para montar a forma de Jordan precisamos do conceito de:
bul<=t multiplicidade algébrica de um autovalor (expoente no polinômio característico),
bul<=t multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio, que coincide com o número de blocos de Jordan para esse autovalor),
bul<=t blocos de Jordan: um bloco Jk(lambda) tem tamanho k e soma k à multiplicidade algébrica de lambda.

Passo 2

Analisamos o autovalor lambda=2:
– multiplicidade algébrica =2,
– multiplicidade geométrica =1.
Como o número de blocos de Jordan para lambda=2 é igual à multiplicidade geométrica, temos exatamente um bloco. Esse bloco deve ocupar toda a multiplicidade algébrica, logo é um bloco de tamanho 2, isto é, J2(2).

Passo 3

Analisamos o autovalor lambda=5:
– multiplicidade algébrica =1,
– multiplicidade geométrica <=1, mas sempre >=1, logo =1.
Isto dá um único bloco de tamanho 1, J1(5).

Passo 4

Juntando os blocos em uma matriz em forma de Jordan (sob qualquer ordenação de blocos), obtemos a forma canônica sobre C (e como os autovalores são reais, ela vale também sobre R):
J ;=; 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 5 ;=;diagl(J2(2),,J1(5)r)

Resposta

A forma canônica de Jordan de T é
diagl(J2(2),,J1(5)r) ou seja 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 5

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