Considere o espaço vetorial real (R^3,+, cdot) munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Sejam u= (2,2,2), v=(3,3,1) in R^3.
(c) Determinar uma base ortonormal do subespaço vetorial W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço WsubsetR^3 gerado pelos vetores
u=(2,2,2), v=(3,3,1),
isto é, W=spanu,v. Para obter uma base ortonormal de W usaremos o processo de Gram–Schmidt no espaço com produto interno usual, primeiro tornando u unitário e depois ortogonalizando v em relação a esse vetor unitário, seguido de normalização.

Passo 2

Começamos por normalizar u. Calculamos a norma de u:
|u|=raiz2^2+2^2+2^2=raiz12=2raiz3
O primeiro vetor unitário é
e1=u|u|=12raiz3(2,2,2)=l(tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3r)

Passo 3

Agora ortogonalizamos v em relação a e1. Como e1 é unitário, a projeção de v sobre e1 é
proje1(v)=lang<= v,e1rang<=,e1,
onde
lang<= v,e1rang<= =3cdottfrac1raiz3+3cdottfrac1raiz3+1cdottfrac1raiz3 =7raiz3
Logo
proje1(v) =7raiz3;e1 =l(tfrac73,,tfrac73,,tfrac73r)
e o vetor ortogonal a e1 é
w2=v-proje1(v) =l(3,3,1r)-l(tfrac73,tfrac73,tfrac73r) =l(tfrac23,,tfrac23,,-tfrac43r)

Passo 4

Finalmente normalizamos w2. A norma de w2 é
|w2|=raizl(tfrac23r)^2+l(tfrac23r)^2+l(-tfrac43r)^2 =raiztfrac249=2raiztfrac23
Portanto o segundo vetor unitário fica
e2=w2|w2| =12raiztfrac23l(tfrac23,,tfrac23,,-tfrac43r) =1raiz6,(1,,1,,-2)

Resposta

Uma base ortonormal de W é
l,e1,e2r com e1=1raiz3,(1,1,1), e2=1raiz6,(1,1,-2)

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