No espaço vetorial real (mathscrP2(R),+, cdot), consideremos o produto interno lang<=cdot, cdotrang<= do Exercício 1. acima. Verifique se os vetores po, p1, p2 in mathscrP2(R), onde
po(t)=1, p1(t)=t, p2(t)=t^2-13, para t in R
são dois a dois ortogonais em relação ao produto interno lang<=cdot, cdotrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios
p0(t)=1, p1(t)=t, p2(t)=t^2-tfrac13
são dois a dois ortogonais no espaço mathscrP2(R) equipado com o produto interno do Exercício 1. Vamos assumir, como é usual nesse contexto (e coerente com a escolha de p2), que
lang<= p,qrang<= ;=;integral-1^1p(t),q(t),dt
Lembrando que “ortogonais” significa que lang<= pi,pjrang<==0 sempre que ineq j.

Passo 2

Calcular lang<= p0,p1rang<=:
lang<= p0,p1rang<= =integral-1^11cdot t,dt =l[tfract^22r]-1^1 =tfrac1^22-tfrac(-1)^22 =0

Passo 3

Calcular lang<= p0,p2rang<=:
lang<= p0,p2rang<= =integral-1^1l(t^2-tfrac13r)dt =integral-1^1t^2,dt -tfrac13integral-1^11,dt
Sabendo que integral-1^1t^2dt=2/3 e integral-1^11,dt=2, vem
lang<= p0,p2rang<= =tfrac23-tfrac13cdot 2 =0

Passo 4

Calcular lang<= p1,p2rang<=:
lang<= p1,p2rang<= =integral-1^1tl(t^2-tfrac13r)dt =integral-1^1t^3,dt -tfrac13integral-1^1t,dt
Mas integral-1^1t^3dt=0 e integral-1^1t,dt=0, logo
lang<= p1,p2rang<==0-0=0

Resposta

Os três polinômios são de fato dois a dois ortogonais em relação ao produto interno dado.

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