No espaço vetorial real
considere
onde
, são dados por
e
, para
.
A função
é um produto interno no espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
A função
Passo 1
O enunciado define um produto entre polinômios
onde
O conteúdo é verificar se
satisfaz os axiomas de produto interno em um espaço real: simetria, linearidade e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria. Note que
Passo 3
Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Se
e
, então
Como estamos em espaço real e a forma é simétrica, a linearidade no segundo argumento também vale.
Passo 4
Verificamos a positividade definida. Para qualquer
,
e essa soma é zero se, e somente se, todos os
, ou seja,
é o polinômio zero.
Resposta
Sim. A operação
satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, logo é um produto interno em
.