No espaço vetorial real (mathscrPn(R),+, cdot) considere
lang<= f, grang<==ao bo+a1 b1+cdots+an bn
onde f, g in mathscrPn(R), são dados por f(t)=ao+a1 t+cdots+an t^n e g(t)=bo+b1 t+cdots+bn t^n, para t in R.
A função lang<=cdot, cdotrang<= é um produto interno no espaço vetorial real (mathscrPn(R),+, cdot) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define um produto entre polinômios
lang<= f,grang<= = a0b0 + a1b1 + cdots + anbn,
onde
f(t)=a0+a1t+cdots+ant^n, g(t)=b0+b1t+cdots+bnt^n
O conteúdo é verificar se lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz os axiomas de produto interno em um espaço real: simetria, linearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria. Note que
lang<= f,grang<= = a0b0 + a1b1 + cdots + anbn = b0a0 + b1a1 + cdots + bnan = lang<= g,frang<=

Passo 3

Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Se h(t)=c0+c1t+cdots+cnt^n e alpha,betainR, então
lang<= alpha f + beta h,;grang<= = sumi=0^n(alpha ai+beta ci),bi = alphasumi=0^naibi + betasumi=0^ncibi = alphalang<= f,grang<= + betalang<= h,grang<=
Como estamos em espaço real e a forma é simétrica, a linearidade no segundo argumento também vale.

Passo 4

Verificamos a positividade definida. Para qualquer f,
lang<= f,frang<= = a0^2 + a1^2 + cdots + an^2>=0,
e essa soma é zero se, e somente se, todos os ai=0, ou seja, f é o polinômio zero.

Resposta

Sim. A operação lang<= f,grang<= = a0b0+cdots+anbn satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, logo é um produto interno em mathscrPn(R).

Exercícios relacionados