No espaço vetorial real (M2(R),+, cdot), considere o produto interno lang<= A, Brang<==tr(B^t A), para A, B in M2(R). Encontre uma base ortonormal de (M2(R),+, cdot), segundo o produto interno lang<=cdot, cdotrang<= introduzido acima.

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma base ortonormal de M2(R) com o produto interno
lang<= A,Brang<==tr(B^tA).
O conteúdo envolve espaços vetoriais com produto interno, norma induzida e ortogonalidade.

Passo 2

Consideramos a base canônica
E11,E12,E21,E22,
onde cada matriz Eij tem entrada 1 na posição (i,j) e zero nas demais.

Passo 3

Pela definição:
lang<= Eij,Eklrang<= =tr(Ekl^tEij) =de<aik,de<ajl,
onde de<a é o delta de Kronecker.
Isso mostra que lang<= Eij,Eijrang<==1 e que para (i,j)neq(k,l) temos lang<= Eij,Eklrang<==0.
Portanto essa base é ortonormal.

Resposta

A base ortonormal é
,E11,;E12,;E21,;E22

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