Seja espaço vetorial real, munido do produto interno . Verifique se os operadores abaixo são auto-adjuntos:
(a) o produto interno usual e dado por , .
Passo 1
O enunciado diz que temos o espaço vetorial com o produto interno usual e o operador linear
Precisamos verificar se é auto-adjunto, ou seja, se
para todos .
Passo 2
Em com o produto interno usual, um operador linear é auto-adjunto se, e somente se, sua matriz em relação à base canônica é simétrica. Portanto basta encontrar a matriz de nessa base e checar se ela coincide com sua transposta.
Passo 3
A ação de sobre os vetores da base canônica é
Logo a matriz de é
Passo 4
Verificamos os elementos:
a12=1=a21, a13=2=a31, a23=3=a32
Como A=A^T, a matriz é simétrica e, portanto, T é auto-adjunto.