Seja (V,+, cdot) espaço vetorial real, munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Verifique se os operadores abaixo são auto-adjuntos:
(a) V=R^3,lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno usual e T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(y+2 z, x+3 z, 2 x+3 y), para(x, y, z) in R^3.

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial R^3 com o produto interno usual e o operador linear
T(x,y,z) = (,y+2z,;x+3z,;2x+3y,)
Precisamos verificar se T é auto-adjunto, ou seja, se
lang<= T(v),wrang<= = lang<= v,T(w)rang<=
para todos v,winR^3.

Passo 2

Em R^3 com o produto interno usual, um operador linear é auto-adjunto se, e somente se, sua matriz em relação à base canônica é simétrica. Portanto basta encontrar a matriz de T nessa base e checar se ela coincide com sua transposta.

Passo 3

A ação de T sobre os vetores da base canônica e1,e2,e3 é
T(e1)=T(1,0,0)=(0,1,2), T(e2)=T(0,1,0)=(1,0,3), T(e3)=T(0,0,1)=(2,3,0)
Logo a matriz de T é
A= 0 & 1 & 2 1 & 0 & 3 2 & 3 & 0

Passo 4

Verificamos os elementos:
a12=1=a21, a13=2=a31, a23=3=a32
Como A=A^T, a matriz é simétrica e, portanto, T é auto-adjunto.

Resposta

T é auto-adjunto.

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