Considere o espaço vetorial real munido do produto interno usual. Verfique quais dos operadores lineares abaixo são isometrias de :
(c) , para .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear dado por
é uma isometria no espaço euclidiano .
Conteúdo: reconhecimento de isometria via preservação do produto interno ou, equivalentemente, matriz ortogonal.
Passo 2
Para checar isometria, escrevemos em coordenadas canônicas. Se e , então
Logo, a matriz de nessa base é
Um operador linear é isometria se e somente se sua matriz A satisfaz