Considere o espaço vetorial real (R^2,+, cdot) munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Verfique quais dos operadores lineares T: R^2 R^2 abaixo são isometrias de R^2 :
(c) T(x, y)=(y, x), para (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
TcolonR^2toR^2 dado por
T(x,y) = (y,x)
é uma isometria no espaço euclidiano l(R^2,lang<=cdot,cdotrang<=r).
Conteúdo: reconhecimento de isometria via preservação do produto interno ou, equivalentemente, matriz ortogonal.

Passo 2

Para checar isometria, escrevemos T em coordenadas canônicas. Se e1=(1,0) e e2=(0,1), então
T(e1)=T(1,0)=(0,1)=e2, T(e2)=T(0,1)=(1,0)=e1
Logo, a matriz de T nessa base é
A = 0 & 1 1 & 0
Um operador linear é isometria se e somente se sua matriz A satisfaz
A^T A = I

Passo 3

Calculando A^T A:
A^T = 0 & 1 1 & 0 , A^T A = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1 = I
Como A^T A = I, A é ortogonal e, portanto, T preserva produto interno e normas.

Resposta

O operador T(x,y)=(y,x) é uma isometria de R^2.

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