Considere o espaço vetorial real V=(x, y) ; x, y in R com as operações:
  • Adição: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+5, y1+y2)
  • Multiplicação por escalar: alpha otimes(x, y)=(alpha x+5(alpha-1), alpha y) para alpha in R
    a) Calcule a e b para que a equação (a+2) otimes(3,2)=(19, b) seja satisfeita em V

Passo 1

Alright, vamos lá! Temos um espaço vetorial V = (x, y) ; x, y in R com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de maneira especial. O exercício pede para encontrar os valores de a e b que fazem a equação (a + 2) otimes (3, 2) = (19, b) ser verdadeira nesse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam e aplicar as regras delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a operação de multiplicação por escalar definida como alpha otimes (x, y) = (alpha x + 5(alpha - 1), alpha y). Aqui, alpha é um número real que multiplica o vetor (x, y). Vamos aplicar essa operação com alpha = a + 2 e o vetor (3, 2).

Passo 3

Substituindo na fórmula:
(a + 2) otimes (3, 2) = ( (a + 2) cdot 3 + 5((a + 2) - 1),; (a + 2) cdot 2 )
Vamos simplificar cada componente dessa expressão.

Passo 4

Vamos simplificar o primeiro componente:
(a + 2) cdot 3 + 5((a + 2) - 1) = 3(a + 2) + 5(a + 1) = 3a + 6 + 5a + 5 = 8a + 11
E o segundo componente:
(a + 2) cdot 2 = 2(a + 2) = 2a + 4

Passo 5

Agora, sabemos que:
(a + 2) otimes (3, 2) = (8a + 11,; 2a + 4)
E isso deve ser igual a (19, b). Então, igualamos as componentes correspondentes:
8a + 11 = 19 e 2a + 4 = b

Passo 6

Resolvendo a primeira equação para a:
8a + 11 = 19 implies 8a = 19 - 11 implies 8a = 8 implies a = 1

Passo 7

Com o valor de a = 1, substituímos na segunda equação para encontrar b:
b = 2(1) + 4 = 2 + 4 = 6

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são a = 1 e b = 6.

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