Verifique se as transformações lineares abaixo são inversíveis.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(2 x+y, y+y)
\end{aligned}
$

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (2x + y, y + y) . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é inversível, ou seja, se dá para “desfazer” essa transformação de volta ao ponto original (x, y). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e determinantes, que são ferramentas que nos ajudam a analisar essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a transformação T de uma forma mais simples. Observando T(x, y) = (2x + y, y + y) , percebemos que isso pode ser simplificado para T(x, y) = (2x + y, 2y) .

Passo 3

Agora, vamos representar essa transformação linear como uma matriz. Toda transformação linear de R^2 para R^2 pode ser escrita na forma de uma matriz A tal que:
A = a & b c & d
onde cada coluna representa como a transformação age sobre os vetores da base canônica.

Passo 4

Comparando T(x, y) = (2x + y, 2y) com a forma geral, vemos que:
A = 2 & 1 0 & 2
Aqui, a primeira coluna 2 0 corresponde a como T transforma o vetor (1, 0) , e a segunda coluna 1 2 corresponde a como T transforma o vetor (0, 1) .

Passo 5

Para saber se a matriz A (e portanto a transformação T ) é inversível, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2 times 2 é dado por:
det(A) = ad - bc
onde a, b, c, d são os elementos da matriz.

Passo 6

Aplicando os valores da nossa matriz:
det(A) = (2)(2) - (1)(0) = 4 - 0 = 4
O determinante é 4, que é diferente de zero.

Passo 7

Quando o determinante de uma matriz é diferente de zero, isso significa que a matriz é inversível. Portanto, a transformação linear T também é inversível.

Resposta

Sim, a transformação linear T é inversível porque o determinante da matriz associada é 4 , que é diferente de zero.

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