Verifique se as transformações lineares abaixo são inversíveis.
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\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(2 x+y, y+y)
\end{aligned}
$
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é inversível, ou seja, se dá para “desfazer” essa transformação de volta ao ponto original . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e determinantes, que são ferramentas que nos ajudam a analisar essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a transformação de uma forma mais simples. Observando , percebemos que isso pode ser simplificado para .
Passo 3
Agora, vamos representar essa transformação linear como uma matriz. Toda transformação linear de para pode ser escrita na forma de uma matriz tal que:
onde cada coluna representa como a transformação age sobre os vetores da base canônica.
Passo 4
Comparando com a forma geral, vemos que:
Aqui, a primeira coluna 2 0 corresponde a como T transforma o vetor (1, 0) , e a segunda coluna 1 2 corresponde a como T transforma o vetor (0, 1) .
Passo 5
Para saber se a matriz A (e portanto a transformação T ) é inversível, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2 times 2 é dado por:
det(A) = ad - bc
onde a, b, c, d são os elementos da matriz.
Passo 6
Aplicando os valores da nossa matriz:
det(A) = (2)(2) - (1)(0) = 4 - 0 = 4
O determinante é 4, que é diferente de zero.
Passo 7
Quando o determinante de uma matriz é diferente de zero, isso significa que a matriz é inversível. Portanto, a transformação linear T também é inversível.
Resposta
Sim, a transformação linear T é inversível porque o determinante da matriz associada é 4 , que é diferente de zero.