Considere o espaço vetorial M2 times 2 e os seguintes vetores
v1=[ll 1 & 0 1 & 1 ], v2=[cc -1 & 2 0 & 1 ], v3=[cc 0 & -1 2 & 1 ]
Escreva o vetor v=[ll1 & 8 0 & 5] como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 .

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor
v = 1 & 8 0 & 5
como combinação linear dos vetores
v1=1 & 0 1 & 1, v2=-1 & 2 0 & 1, v3=0 & -1 2 & 1
O conteúdo usado será combinação linear em M2times2 e a resolução de um sistema linear para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 ;=; v
Escrevendo cada entrada dessa igualdade, obtemos o sistema
alpha - beta = 1, 2beta - gamma = 8, alpha + 2gamma = 0, alpha + beta + gamma = 5

Passo 3

Da primeira equação segue
alpha = 1 + beta
Substituindo na terceira equação:
(1 + beta) + 2gamma = 0 Longrightarrow beta + 2gamma = -1 Longrightarrow beta = -1 - 2gamma
Agora, na segunda equação, substituímos beta:
2(-1 - 2gamma) - gamma = 8 Longrightarrow -2 - 4gamma - gamma = 8 Longrightarrow -5gamma = 10 Longrightarrow gamma = -2
Logo
beta = -1 - 2(-2) = 3, alpha = 1 + beta = 4

Passo 4

Verificando na quarta equação:
alpha + beta + gamma = 4 + 3 - 2 = 5,
que confere com o valor do lado direito. Os coeficientes finais são
alpha=4, beta=3 e gamma=-2.

Resposta

v = 4,v1 ;+; 3,v2 ;-; 2,v3

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