Considere os vetores v1=(1,2,1) e v2=(0,1,-1) em R^3 e faça o que se pede:
I . Determine:
a) uma combinação linear de v1 e v2.
b) o conjunto de todas as combinações lineares de v1 e v2, ou seja ,o subespaço gerado por v1 e v2,[v1, v2].
II .Verifique se v=(-1,0,1) in[v1, v2].

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com combinações lineares e o subespaço gerado pelos vetores ,v1=(1,2,1) e ,v2=(0,1,-1) em R^3. Para isso vamos:
  1. Escrever a combinação linear geral alpha v1+beta v2.
  2. Dar um exemplo específico dessa combinação (item I-a).
  3. Descrever o conjunto de todas as combinações (item I-b).
  4. Verificar se o vetor v=(-1,0,1) pertence a esse subespaço (item II).

Passo 2

Uma combinação linear geral desses vetores é
alpha,v1 + beta,v2 = alpha,(1,2,1) + beta,(0,1,-1) = (alpha,;2alpha+beta,;alpha-beta),
onde alpha,betainR.

Passo 3

Para responder I-a basta escolher valores para alpha e beta. Por exemplo, tomando alpha=1 e beta=1 temos
1cdot v1 + 1cdot v2 = (1,2,1)+(0,1,-1) = (1,3,0)
Logo, (1,3,0) é uma combinação linear de v1 e v2.

Passo 4

O conjunto de todas as combinações lineares (item I-b) é o subespaço
[v1,v2] =lalpha,v1+beta,v2mid alpha,betainRr =(alpha,2alpha+beta,alpha-beta)mid alpha,betainR

Passo 5

Para verificar se
e resolvemos o sistema:
Da primeira equação (\alpha=-1]. Substituindo na segunda:

Mas na terceira:

logo não há solução simultânea.

Resposta

a) Por exemplo, (1,3,0) = v1+v2.
b) [v1,v2] = alpha(1,2,1)+beta(0,1,-1)mid alpha,betainR.
II) O vetor (-1,0,1) não pertence a [v1,v2].

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