Considere os vetores v1=t^2-1 e v2=-t^2+2 t de P2(R). Faça o que se pede:
I. Determine as condições que se deve ter para que o vetor x t^2+y t+z pertença ao subespaço [V1, v2].
II. Se v=x t^2+y t+z satisfaz as condições do item anterior, qual é a combinação linear de v1 e v2 que é igual a v ?
III .Escreva, se possível, w =t^2+2 t-2 como combinação linear de v1 e v2.

Passo 1

O enunciado trabalha em P2(R), o espaço dos polinômios de grau até 2, e dá
v1=t^2-1, v2=-t^2+2t
Precisamos, I) achar as condições sobre (x,y,z) para que
v = x,t^2 + y,t + z
esteja em spanv1,v2; II) quando essas condições valem, escrever v como combinação de v1 e v2; III) verificar se w=t^2+2t-2 está no span e, se sim, dar sua combinação.

Passo 2

Para estar em spanv1,v2 precisamos existir escalares a,b tais que
v = a,v1 + b,v2 ;Longrightarrow; x,t^2+y,t+z = a,(t^2-1) + b,(-t^2+2t)
Desenvolvendo o lado direito:
a,t^2-a ;+; b,(-t^2) + 2b,t = (a-b),t^2 + 2b,t - a
Comparando coeficientes de t^2, t e termo constante, obtemos o sistema
x = a - b, y = 2b, z = -a

Passo 3

Das três equações do passo anterior, expressamos a e b em função de x,y,z. Da terceira vem
a = -z
Da segunda,
b = y2
Substituindo em x = a - b:
x = -z - tfracy2 ;Long<=ftrightarrow; 2x = -2z - y ;Long<=ftrightarrow; 2x + y + 2z = 0
Essa é a condição necessária e suficiente para vinspanv1,v2.

Passo 4

Quando 2x + y + 2z = 0, temos da solução do sistema
a = -z, b = y2,
logo a combinação linear é
v = a,v1 + b,v2 = (-z),v1 + l(tfracy2r),v2

Passo 5

Para w = t^2+2t-2 identificamos x=1, y=2, z=-2. Verificamos
2x + y + 2z = 2cdot1 + 2 + 2cdot(-2) = 2 + 2 -4 = 0,
logo w está no span. Então
a = -z = 2, b = y2 = 1,
e
w = 2,v1 + 1,v2 = 2v1 + v2

Resposta

I. v = x,t^2+y,t+zin [v1,v2] sse
2x + y + 2z = 0
II. Quando isso vale,
v = (-z),v1 + l(tfracy2r),v2
III. Para w=t^2+2t-2 temos
w = 2,v1 + v2

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