Considere os vetores de . Faça o que se pede:
I. Determine as condições que se deve ter para que o vetor pertença ao subespaço .
II. satisfaz as condições do item anterior, qual é a combinação linear de que é igual a ?
III .Escreva, se possível, w como combinação linear de .
Passo 1
O enunciado trabalha em , o espaço dos polinômios de grau até 2, e dá
Precisamos, I) achar as condições sobre para que
esteja em ; II) quando essas condições valem, escrever como combinação de e ; III) verificar se está no span e, se sim, dar sua combinação.
Passo 2
Para estar em precisamos existir escalares tais que
Desenvolvendo o lado direito:
Comparando coeficientes de , e termo constante, obtemos o sistema
Passo 3
Das três equações do passo anterior, expressamos a e b em função de x,y,z. Da terceira vem
a = -z
Da segunda,
b = y2
Substituindo em x = a - b:
x = -z - tfracy2 ;Long<=ftrightarrow; 2x = -2z - y ;Long<=ftrightarrow; 2x + y + 2z = 0
Essa é a condição necessária e suficiente para vinspanv1,v2.
Passo 4
Quando 2x + y + 2z = 0, temos da solução do sistema
a = -z, b = y2,
logo a combinação linear é
v = a,v1 + b,v2 = (-z),v1 + l(tfracy2r),v2
Passo 5
Para w = t^2+2t-2 identificamos x=1, y=2, z=-2. Verificamos