Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes.
(1,1,0),(1,1,1),(0,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores v1=(1,1,0), v2=(1,1,1) e v3=(0,1,-1) são linearmente independentes em R^3. Vamos usar o critério de independência via combinação linear homogênea: estudar se a única solução de lambda1v1+lambda2v2+lambda3v3=0 é lambda1=lambda2=lambda3=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear nula, temos
lambda1(1,1,0)+lambda2(1,1,1)+lambda3(0,1,-1)=(0,0,0)
Isso gera o sistema
lambda1 + lambda2 = 0, lambda1 + lambda2 + lambda3 = 0, lambda2 - lambda3 = 0

Passo 3

Da terceira equação segue lambda2=lambda3. Substituindo na segunda,
lambda1 + 2lambda2 = 0 Longrightarrow lambda1 = -2lambda2
Agora, aplicando isso na primeira equação,
-2lambda2 + lambda2 = -lambda2 = 0 Longrightarrow lambda2 = 0,
o que implica lambda1=0 e lambda3=0.

Passo 4

Encontramos que a única solução do sistema homogêneo é lambda1=lambda2=lambda3=0. Portanto, não existe combinação linear não trivial que leve ao vetor nulo.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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