Considere o espaço vetorial V=R^3. Seja W=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-z=0 subset V.
Mostre que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x + 2y - z = 0
Precisamos mostrar que W é um subespaço vetorial de V. Para isso, basta verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0) pertence a W. De fato,
0 + 2cdot 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0)in W. Assim, W não é vazio.

Passo 3

Mostramos fechamento sob adição. Tomemos vetores arbitrários
(x1,y1,z1)in W e (x2,y2,z2)in W. Então
x1 + 2y1 - z1 = 0 e x2 + 2y2 - z2 = 0
Somando as duas equações,
(x1 + x2) + 2(y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 + 2y1 - z1) + (x2 + 2y2 - z2) = 0 + 0 = 0
Logo (x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)in W, ou seja, W é fechado sob adição.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e (x,y,z)in W, ou seja, x + 2y - z = 0. Então
alpha x + 2(alpha y) - (alpha z) = alphal(x + 2y - zr) = alphacdot 0 = 0
Portanto (alpha x,alpha y,alpha z)in W, o que prova o fechamento de W sob multiplicação por escalar.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

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