Considere o espaço vetorial
. Seja
.
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Precisamos mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, basta verificar três propriedades:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
pertence a
. De fato,
logo
. Assim,
não é vazio.
Passo 3
Mostramos fechamento sob adição. Tomemos vetores arbitrários
e
. Então
Somando as duas equações,
Logo
, ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 4
Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, ou seja,
. Então
Portanto
, o que prova o fechamento de
sob multiplicação por escalar.