Sejam u=(x, y) e v=(x^prime, y^prime) vetores em R^2. Mantenha a definição do produto de um número real alpha por um vetor u, como alpha u=(alpha x, alpha y). Definindo a soma como nos itens abaixo, determine quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
u+v=(x+y^prime, x^prime+y)

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos em V=R^2 com a multiplicação escalar usual alpha(x,y)=(alpha x,alpha y) e definimos uma soma não usual
(x,y)+(x',y')=(,x+y',,,x'+y,)
O objetivo é verificar, uma a uma, as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Fechamento e comutatividade da soma
  1. Fechamento: dado (x,y),(x',y')inR^2, claramente (x+y',x'+y)inR^2. Logo, a operação está fechada em V.
  2. Comutatividade:
(x,y)+(x',y')=(x+y',,x'+y),
(x',y')+(x,y)=(x'+y,,x+y')
Em geral (x+y',x'+y)neq(x'+y,x+y'). Portanto a comutatividade falha.

Passo 3

Associatividade da soma
Seja u=(x,y), v=(x',y'), w=(x'',y'').
Calculamos
v+w=(x'+y'',,x''+y'), u+(v+w)=(,x+(x''+y'),,,(x'+y'')+y,),
u+v=(x+y',,x'+y), (u+v)+w=(, (x+y')+y'',,, x''+(x'+y),)
Comparando, os pares não coincidem em geral. Logo a associatividade falha.

Passo 4

Elemento nulo e inverso aditivo
  1. Procuramos 0=(a,b) tal que (x,y)+(a,b)=(x,y). Isso leva a x+b=x e a+y=y, ou seja a=b=0. Verificamos
(x,y)+(0,0)=(x+0,0+y)=(x,y),
porém
(0,0)+(x,y)=(0+y,x+0)=(y,x)neq(x,y)(em >=ral)
Então não existe elemento nulo que funcione dos dois lados.
2. Inverso aditivo: para cada (x,y) tomamos -(x,y)=(-y,-x). De fato
(x,y)+(-y,-x)=(,x+(-x),,,(-y)+y,)=(0,0) e (-y,-x)+(x,y)=(0,0)
Logo o inverso existe, mas sem identidade bilateral a estrutura de grupo aditivo falha.

Passo 5

Axiomas de multiplicação escalar
  1. Compatibilidade de escalares:
alpha(beta(x,y))=alpha(beta x,beta y)=(alphabeta x,alphabeta y) =(alphabeta)(x,y)
Funciona.
2. Elemento unitário:
1cdot(x,y)=(1cdot x,1cdot y)=(x,y)
Funciona.
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
alphal((x,y)+(x',y')r) =alpha(x+y',,x'+y) =(alpha(x+y'),,alpha(x'+y))
alpha(x,y)+alpha(x',y')=(alpha x,alpha y)+(alpha x',alpha y') =(alpha x+alpha y',,alpha x'+alpha y) =(alpha(x+y'),,alpha(x'+y))
Funciona.
4. Distributividade em relação à soma de escalares:
(alpha+beta)(x,y)=((alpha+beta)x,(alpha+beta)y),
alpha(x,y)+beta(x,y)=(alpha x,alpha y)+(beta x,beta y) =(alpha x+beta y,,beta x+alpha y)
Esses pares não coincidem em geral, então essa distributividade falha.

Resposta

Axiomas válidos:
  • Fechamento da soma.
  • Existência de inverso aditivo (mas sem identidade bilateral).
  • Compatibilidade alpha(beta u)=(alphabeta)u.
  • Identidade escalar 1cdot u=u.
  • Distributividade alpha(u+v)=alpha u+alpha v.
Axiomas violados:
  • Comutatividade da soma.
  • Associatividade da soma.
  • Existência de elemento nulo bilateral.
  • Distributividade (alpha+beta)u=alpha u+beta u.

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