Sejam
e
vetores em
. Mantenha a definição do produto de um número real
por um vetor
, como
. Definindo a soma como nos itens abaixo, determine quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
Passo 1
Resumo do enunciado: estamos em
com a multiplicação escalar usual
e definimos uma soma não usual
O objetivo é verificar, uma a uma, as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Fechamento e comutatividade da soma
- Fechamento: dado
, claramente . Logo, a operação está fechada em . - Comutatividade:
Em geral
. Portanto a comutatividade falha.
Passo 3
Associatividade da soma
Seja ,
,
.
Calculamos
Seja
Calculamos
Comparando, os pares não coincidem em geral. Logo a associatividade falha.
Passo 4
Elemento nulo e inverso aditivo
- Procuramos
tal que . Isso leva a e , ou seja . Verificamos
porém
Então não existe elemento nulo que funcione dos dois lados.
2. Inverso aditivo: para cada tomamos
. De fato
2. Inverso aditivo: para cada
Logo o inverso existe, mas sem identidade bilateral a estrutura de grupo aditivo falha.
Passo 5
Axiomas de multiplicação escalar
- Compatibilidade de escalares:
Funciona.
2. Elemento unitário:
2. Elemento unitário:
Funciona.
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
Funciona.
4. Distributividade em relação à soma de escalares:
4. Distributividade em relação à soma de escalares:
Esses pares não coincidem em geral, então essa distributividade falha.
Resposta
Axiomas válidos:
- Fechamento da soma.
- Existência de inverso aditivo (mas sem identidade bilateral).
- Compatibilidade
. - Identidade escalar
. - Distributividade
.
Axiomas violados:
- Comutatividade da soma.
- Associatividade da soma.
- Existência de elemento nulo bilateral.
- Distributividade
.