Considere o sistema
c x+2 y+2 z=a 2 x+3 y+4 z=b x+4 y+3 z=c
determine quais condições devemos impor para a, b e c para que o conjunto solução do sistema dado seja um subespaço vetorial do R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações em
O conteúdo é resolução de sistemas lineares e teoria de subespaços vetoriais. Para que o conjunto solução de um sistema seja um subespaço de .

Passo 2

Verificamos se (0,0,0) pertence ao conjunto solução, ou seja, se ao substituir x=0, y=0 e z=0 as três equações continuam válidas.

Passo 3

Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) em cada equação:
0 + 2cdot0 + 2cdot0 = a implies a = 0,
2cdot0 + 3cdot0 + 4cdot0 = b implies b = 0,
0 + 4cdot0 + 3cdot0 = c implies c = 0

Passo 4

Portanto, a única forma do conjunto solução conter o vetor nulo (e assim ser um subespaço) é exigir
a = 0, b = 0, c = 0

Resposta

As condições são a=0, b=0 e c=0.

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