Prove que 1+2 i e 3-4 i geram o espaço vetorial C sobre R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os complexos ,1+2i e ,3-4i formam um sistema de geradores de C visto como espaço vetorial sobre R.
O que precisamos:
– Lembrar que C é um espaço vetorial real de dimensão 2, com base canônica 1,i.
– Mostrar que qualquer vetor arbitrário ,a + b,i, com a,binR, pode ser escrito como combinação linear real de ,1+2i e ,3-4i.

Passo 2

Vamos tentar escrever um vetor genérico ,a + b,i na forma
alpha,(1 + 2i);+;beta,(3 - 4i)
com alpha,betainR.
Desenvolvendo, obtemos
alpha,(1 + 2i) + beta,(3 - 4i) = (alpha + 3beta) ;+; (,2alpha - 4beta,),i
Para que isso valha igual a a + b,i, os coeficientes real e imaginário têm de satisfazer o sistema
alpha + 3beta = a, 2alpha - 4beta = b

Passo 3

Resolvendo o sistema
alpha + 3beta = a, 2alpha - 4beta = b,
calculamos o determinante
De<a = 1 & 3 2 & -4 = (1)(-4)-(3)(2) = -4 - 6 = -10 neq 0
Como De<aneq0, há solução única dada por
alpha = (-4),a - 3,bDe<a = -4a -3b-10 = 4a +3b10, beta = 1cdot b -2cdot aDe<a = b -2a-10 = 2a - b10
Logo, para todo (a,b)inR^2 existe (alpha,beta)inR^2 tal que
alpha,(1 + 2i) + beta,(3 - 4i) = a + b,i
Isso mostra que ,1+2i,;3-4i gera C sobre R.

Passo 4

Em um espaço vetorial real de dimensão 2, qualquer conjunto de 2 vetores que gere o espaço é automaticamente linearmente independente e, portanto, é uma base.
Assim, ,1+2i e ,3-4i não só geram C, como formam uma base de C sobre R.

Resposta

Os complexos ,1+2i e ,3-4i geram C sobre R.

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