O enunciado pede para mostrar que os complexos e formam um sistema de geradores de visto como espaço vetorial sobre .
O que precisamos:
– Lembrar que é um espaço vetorial real de dimensão 2, com base canônica .
– Mostrar que qualquer vetor arbitrário , com , pode ser escrito como combinação linear real de e .
Passo 2
Vamos tentar escrever um vetor genérico na forma
com .
Desenvolvendo, obtemos
Para que isso valha igual a , os coeficientes real e imaginário têm de satisfazer o sistema
Logo, para todo (a,b)inR^2 existe (alpha,beta)inR^2 tal que
alpha,(1 + 2i) + beta,(3 - 4i) = a + b,i
Isso mostra que ,1+2i,;3-4i gera C sobre R.
Passo 4
Em um espaço vetorial real de dimensão 2, qualquer conjunto de 2 vetores que gere o espaço é automaticamente linearmente independente e, portanto, é uma base.
Assim, ,1+2i e ,3-4i não só geram C, como formam uma base de C sobre R.