Considere o espaço vetorial
. Sejam
e
.
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
,
e pede para mostrar que
é um subespaço de
.
Conteúdo: soma de subespaços e teste de subespaço (ou reconhecimento via span).
Conteúdo: soma de subespaços e teste de subespaço (ou reconhecimento via span).
Passo 2
Por definição, a soma de subespaços é
Como qualquer
pode ser escrito
e qualquer
pode ser escrito
para escalares
, temos
Passo 3
Reescrevendo
como combinação linear de
e
, vemos que
Ou seja,
é exatamente o subespaço gerado por esses dois vetores.
Passo 4
Sabemos que, em qualquer espaço vetorial, o conjunto gerado (span) de um ou mais vetores é sempre um subespaço. Logo, como
segue imediatamente que
satisfaz os axiomas de subespaço (contém o vetor zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar).