Considere o espaço vetorial V=R^3. Sejam U=Span(1,1,0) e W=Span(1,1,1).
Mostre que U+W é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado diz que ,
e pede para mostrar que
é um subespaço de .
Conteúdo: soma de subespaços e teste de subespaço (ou reconhecimento via span).

Passo 2

Por definição, a soma de subespaços é
U + W = ,u + w mid uin U,;win W
Como qualquer uin U pode ser escrito u = a,(1,1,0) e qualquer win W pode ser escrito w = b,(1,1,1) para escalares a,binR, temos
u + w = a,(1,1,0) + b,(1,1,1)

Passo 3

Reescrevendo como combinação linear de e , vemos que
Ou seja, é exatamente o subespaço gerado por esses dois vetores.

Passo 4

Sabemos que, em qualquer espaço vetorial, o conjunto gerado (span) de um ou mais vetores é sempre um subespaço. Logo, como
segue imediatamente que satisfaz os axiomas de subespaço (contém o vetor zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar).

Resposta

é um subespaço de , pois

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