Sejam
um EVPI e
e
subespaços de
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial com produto interno e que
são subespaços de
. Precisamos mostrar que o ortogonal da interseção é a soma dos ortogonais, ou seja,
Vamos usar as definições de ortogonal complementar, de soma de subespaços e as fórmulas de dimensão em espaços de dimensão finita:
-
-
-
- Para todo subespaço
,
Passo 2
Provo a inclusão
Se
, então
com
e
. Para qualquer
temos
logo
para todo
, isto é,
.
Passo 3
Agora comparo dimensões para concluir igualdade. Primeiro noto que
pois ser ortogonal a
e a
equivale a ser ortogonal a todo vetor em
. Pela fórmula de dimensão de soma de subespaços:
Substituo
e
. Logo
Como
, segue
Passo 4
Concluímos que
está contido em
e ambos têm a mesma dimensão. Em espaços de dimensão finita, isso força a igualdade: