Sejam V um EVPI e W1 e W2 subespaços de V. Mostre que (W1 cap W2)^perp=W1^perp+W2^perp.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial com produto interno e que W1,W2 são subespaços de V. Precisamos mostrar que o ortogonal da interseção é a soma dos ortogonais, ou seja,
l(W1cap W2r)^perp ;=; W1^perp+W2^perp
Vamos usar as definições de ortogonal complementar, de soma de subespaços e as fórmulas de dimensão em espaços de dimensão finita:
  1. X^perp=vin Vmidlang<= v,xrang<==0 forall xin X
  2. X+Y=x+ymid xin X,;yin Y
  3. dim(X+Y)+dim(Xcap Y)=dim X+dim Y
  4. Para todo subespaço W, dim W+dim W^perp=dim V

Passo 2

Provo a inclusão
W1^perp+W2^perp;subseteq;l(W1cap W2r)^perp
Se vin W1^perp+W2^perp, então v=v1+v2 com v1perp W1 e v2perp W2. Para qualquer win W1cap W2 temos
lang<= v,wrang<= =lang<= v1,wrang<=+lang<= v2,wrang<= =0+0 =0,
logo vperp w para todo win W1cap W2, isto é, vin(W1cap W2)^perp.

Passo 3

Agora comparo dimensões para concluir igualdade. Primeiro noto que
W1^perpcap W2^perp =l(W1+W2r)^perp,
pois ser ortogonal a W1 e a W2 equivale a ser ortogonal a todo vetor em W1+W2. Pela fórmula de dimensão de soma de subespaços:
diml(W1^perp+W2^perpr) = dim W1^perp+dim W2^perp -diml(W1^perpcap W2^perpr)
Substituo dim Wi^perp=dim V-dim Wi e dim(W1^perpcap W2^perp)=dim(V)-dim(W1+W2). Logo
diml(W1^perp+W2^perpr) =(dim V-dim W1)+(dim V-dim W2) -l(dim V-dim(W1+W2)r)
Como dim(W1+W2)=dim W1+dim W2-dim(W1cap W2), segue
diml(W1^perp+W2^perpr) =dim V-dim(W1cap W2) =diml((W1cap W2)^perpr)

Passo 4

Concluímos que W1^perp+W2^perp está contido em (W1cap W2)^perp e ambos têm a mesma dimensão. Em espaços de dimensão finita, isso força a igualdade:
boxed l(W1cap W2r)^perp = W1^perp+W2^perp

Resposta

(W1cap W2)^perp=W1^perp+W2^perp

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