Seja
o espaço vetorial das funções
sobre
. Verifique se o subconjunto
é subespaço de
nos seguintes casos:
Lembre-se
é par se
para todo
no domínio de
. Por sua vez
é ímpar se
para todo
no domínio de
.
é o conjunto das funções ímpares;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de .
Para isso usamos o critério de subespaço:
é um subespaço de
Para isso usamos o critério de subespaço:
- O vetor zero de
pertence a . -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que a função zero,
, é ímpar:
logo
.
Passo 3
Sejam
e
duas funções ímpares, isto é,
e
.
Então para a soma temos
Então para a soma temos
Portanto
é ímpar e
.
Passo 4
Seja
ímpar e
.
Então
Então
Logo
é ímpar e
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.