Seja V=C(R) o espaço vetorial das funções f: R R sobre R. Verifique se o subconjunto W é subespaço de V nos seguintes casos:
Lembre-se f é par se f(-x)=f(x) para todo x no domínio de f. Por sua vez f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x no domínio de f.
W=Vi é o conjunto das funções ímpares;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = Vi = ,fin C(R)mid f(-x)=-f(x) forall xinR
é um subespaço de V=C(R).
Para isso usamos o critério de subespaço:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que a função zero, 0(x)=0, é ímpar:
0(-x)=0 = -0 = -,0(x),
logo 0in W.

Passo 3

Sejam f e g duas funções ímpares, isto é,
,f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x).
Então para a soma temos
(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x) = -f(x)-g(x) = -(f(x)+g(x)) = -(f+g)(x)
Portanto f+g é ímpar e f+gin W.

Passo 4

Seja f ímpar e alphainR.
Então
(alpha f)(-x) = alpha,f(-x) = alpha(-f(x)) = -(alpha,f(x)) = -(alpha f)(x)
Logo alpha f é ímpar e alpha fin W.

Resposta

Sim, W=Vi é um subespaço de V.

Exercícios relacionados