Considere a seguinte função T: M(2) R^3 dada por T([lla & b c & d])=(2 b, 0,3 d)
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a função
Tcolon M(2)toR^3
por
Tl(a & b c & dr) = (2b,,0,,3d)
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, que para quaisquer matrizes X,Yin M(2) e escalar lambdainR valem
  1. T(X+Y)=T(X)+T(Y),
  2. T(lambda X)=lambda,T(X).

Passo 2

Sejam
X = a & b c & d, Y = e & f g & h
Então
X+Y = a+e & b+f c+g & d+h
e, pela definição de T,
T(X+Y) = l(2(b+f),,0,,3(d+h)r) = l(2b+2f,,0,,3d+3hr)
Por outro lado,
T(X) + T(Y) = (2b,,0,,3d) + (2f,,0,,3h) = (2b+2f,,0,,3d+3h)
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T(X+Y) = T(X) + T(Y)

Passo 3

Seja lambdainR. Então
lambda X = lambda a & lambda b lambda c & lambda d,
e
T(lambda X) = l(2(lambda b),,0,,3(lambda d)r) = (lambda,2b,,0,,lambda,3d) = lambda,(2b,,0,,3d) = lambda,T(X)

Passo 4

Vimos que T preserva soma de matrizes e fator escalar. Pelas definições, isso basta para concluir que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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