Considere o espaço vetorial e seus subespaços vetoriais
Determine uma transformação linear tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para achar uma transformação linear tal que o núcleo de seja o subespaço e a imagem de seja o subespaço . Aqui, estamos lidando com conceitos de transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que atenda a essas condições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero por . Ou seja:
A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em :
Nosso objetivo é construir uma matriz que represente a transformação de forma que e .
Passo 3
Vamos começar analisando o subespaço . Somos informados que:
Isso significa que todo vetor no núcleo de é uma combinação linear desses dois vetores. Para que seja o núcleo de , precisamos garantir que as linhas da matriz sejam ortogonais a esses vetores. Em outras palavras, se representarmos por suas linhas , teremos:
Isso nos dará um sistema de equações para encontrar as entradas de .
Passo 4
Vamos escrever as equações resultantes das condições acima. Seja uma matriz com linhas . Para cada linha , temos:
Simplificando a segunda equação:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então, podemos expressar em função de , e usar uma das equações para relacionar e .
Passo 5
Vamos escolher , , e então , e da equação , temos:
Assim, cada linha da matriz pode ser escrita como:
Aqui, e são parâmetros livres que podemos escolher para construir a matriz .
Passo 6
Agora, vamos garantir que a imagem de seja o subespaço . Sabemos que:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de deve satisfazer essas duas equações. Para construir de forma que sua imagem seja exatamente , precisamos que as colunas de sejam combinações lineares que satisfaçam essas condições.
Uma maneira de fazer isso é escolher matrizes que, após terem suas colunas transformadas, resultem em vetores que satisfaçam e .
Passo 7
Vamos escolher parâmetros específicos para e de forma que a imagem de seja . Por exemplo, podemos definir:
Então, cada linha fica:
Construindo a matriz :
No entanto, essa matriz tem posto 1, o que significa que sua imagem é um subespaço de dimensão 1, mas queremos que a imagem seja W , que é de dimensão 2. Portanto, precisamos ajustar nossos parâmetros para obter uma matriz com posto 2.
Passo 8
Vamos escolher as linhas de A de forma que elas gerem dois vetores independentes que satisfazem as condições de W .
Vamos escolher a e b de maneira que tenhamos duas linhas diferentes. Por exemplo:
Para a primeira linha, escolha a = 1 , b = 0 :
a1 = (1, 1, 0, -2)
Para a segunda linha, escolha a = 0 , b = 1 :
a2 = (0, 0, 1, -1)
E repetir para as demais linhas para manter a consistência: