Considere o espaço vetorial R^4 e seus subespaços vetoriais
U=[(1,0,1,1),(0,-1,-1,-1)], W=(x, y, z, t) ; x+y=0 e t+z=0
Determine uma transformação linear T: R^4 R^4 tal que Ker(T)=U e Im(T)=W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para achar uma transformação linear T: R^4 R^4 tal que o núcleo de T seja o subespaço U e a imagem de T seja o subespaço W . Aqui, estamos lidando com conceitos de transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que atenda a essas condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores v em R^4 que são enviados para o vetor zero por T . Ou seja:
Ker(T) = v in R^4 mid T(v) = 0
A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor em R^4 :
Im(T) = T(v) mid v in R^4
Nosso objetivo é construir uma matriz A que represente a transformação T de forma que Ker(A) = U e Im(A) = W .

Passo 3

Vamos começar analisando o subespaço U . Somos informados que:
U = span(1, 0, 1, 1), (0, -1, -1, -1)
Isso significa que todo vetor no núcleo de T é uma combinação linear desses dois vetores. Para que U seja o núcleo de T , precisamos garantir que as linhas da matriz A sejam ortogonais a esses vetores. Em outras palavras, se representarmos A por suas linhas a1, a2, a3, a4 , teremos:
ai cdot (1, 0, 1, 1) = 0 e ai cdot (0, -1, -1, -1) = 0 para todo i
Isso nos dará um sistema de equações para encontrar as entradas de A .

Passo 4

Vamos escrever as equações resultantes das condições acima. Seja A uma matriz 4 times 4 com linhas a1, a2, a3, a4 . Para cada linha ai = (ai1, ai2, ai3, ai4) , temos:
ai1(1) + ai2(0) + ai3(1) + ai4(1) = 0 Rightarrow ai1 + ai3 + ai4 = 0
ai1(0) + ai2(-1) + ai3(-1) + ai4(-1) = 0 Rightarrow -ai2 - ai3 - ai4 = 0
Simplificando a segunda equação:
ai2 + ai3 + ai4 = 0
Agora, temos:
ai1 + ai3 + ai4 = 0
ai2 + ai3 + ai4 = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
ai1 - ai2 = 0 Rightarrow ai1 = ai2
Então, podemos expressar ai1 em função de ai2 , e usar uma das equações para relacionar ai3 e ai4 .

Passo 5

Vamos escolher ai2 = a , ai3 = b , e então ai1 = a , e da equação a + b + ai4 = 0 , temos:
ai4 = -2a - b
Assim, cada linha ai da matriz A pode ser escrita como:
ai = (a, a, b, -2a - b)
Aqui, a e b são parâmetros livres que podemos escolher para construir a matriz A .

Passo 6

Agora, vamos garantir que a imagem de A seja o subespaço W . Sabemos que:
W = (x, y, z, t) in R^4 mid x + y = 0 e z + t = 0
Isso significa que qualquer vetor na imagem de A deve satisfazer essas duas equações. Para construir A de forma que sua imagem seja exatamente W , precisamos que as colunas de A sejam combinações lineares que satisfaçam essas condições.
Uma maneira de fazer isso é escolher matrizes que, após terem suas colunas transformadas, resultem em vetores que satisfaçam x + y = 0 e z + t = 0 .

Passo 7

Vamos escolher parâmetros específicos para a e b de forma que a imagem de A seja W . Por exemplo, podemos definir:
a = 1 e b = 0
Então, cada linha ai fica:
ai = (1, 1, 0, -2)
Construindo a matriz A :
A = 1 & 1 & 0 & -2 1 & 1 & 0 & -2 1 & 1 & 0 & -2 1 & 1 & 0 & -2
No entanto, essa matriz tem posto 1, o que significa que sua imagem é um subespaço de dimensão 1, mas queremos que a imagem seja W , que é de dimensão 2. Portanto, precisamos ajustar nossos parâmetros para obter uma matriz com posto 2.

Passo 8

Vamos escolher as linhas de A de forma que elas gerem dois vetores independentes que satisfazem as condições de W .
Vamos escolher a e b de maneira que tenhamos duas linhas diferentes. Por exemplo:
  • Para a primeira linha, escolha a = 1 , b = 0 :
a1 = (1, 1, 0, -2)
  • Para a segunda linha, escolha a = 0 , b = 1 :
a2 = (0, 0, 1, -1)
E repetir para as demais linhas para manter a consistência:
A = 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & -1
Essa matriz agora tem duas linhas independentes e satisfaz Im(A) = W .

Resposta

A transformação linear desejada T pode ser representada pela seguinte matriz:
T = A = 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & -1
Dessa forma, Ker(T) = U e Im(T) = W .

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