Se v1=(1,-1), v2=(2,-1), v3=(-3,2), w1=(1,0), w2=(0,1), w3=(1,1), existe uma tranformação linear T: R^2 R^2 tal que T(vi)=wi para i=1,2,3?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de transformação linear aqui. Basicamente, queremos descobrir se existe uma função T que, quando aplicada aos vetores v1, v2 e v3 , resulta nos vetores w1, w2 e w3 respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e verificar se é possível fazer essa correspondência com os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T: R^2 R^2 pode ser representada por uma matriz A 2x2 tal que T(v) = Av . Nosso objetivo é encontrar essa matriz A que satisfaça as três equações:
A cdot v1 = w1 A cdot v2 = w2 A cdot v3 = w3

Passo 3

Vamos representar a matriz A da seguinte forma:
A = a & b c & d
Agora, aplicando A aos vetores v1, v2 e v3 :
A cdot v1 = a & b c & d 1 -1 = a - b c - d = 1 0 = w1
A cdot v2 = a & b c & d 2 -1 = 2a - b 2c - d = 0 1 = w2
A cdot v3 = a & b c & d -3 2 = -3a + 2b -3c + 2d = 1 1 = w3

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
  1. a - b = 1
  2. c - d = 0
  3. 2a - b = 0
  4. 2c - d = 1
  5. -3a + 2b = 1
  6. -3c + 2d = 1
Vamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação c - d = 0 , temos que c = d .
Da quarta equação 2c - d = 1 , substituindo c = d :
2d - d = d = 1 Rightarrow d = 1 Rightarrow c = 1

Passo 6

Agora, vamos para as equações envolvendo a e b :
Da primeira equação a - b = 1 e da terceira 2a - b = 0 .
Subtraindo a primeira da terceira:
(2a - b) - (a - b) = 0 - 1 2a - b - a + b = -1 a = -1
Substituindo a = -1 na primeira equação:
-1 - b = 1 -b = 2 b = -2

Passo 7

Agora, vamos verificar a quinta e sexta equações com os valores encontrados:
Para a quinta equação -3a + 2b = 1 :
-3(-1) + 2(-2) = 3 - 4 = -1 neq 1
Aqui já vemos um problema: -1 não é igual a 1 . Isso indica que não há consistência nas equações.

Passo 8

Como as equações resultaram em uma contradição, isso significa que não existe uma transformação linear T que satisfaça todas as três condições dadas simultaneamente.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear T: R^2 R^2 que satisfaça T(vi) = wi para i=1,2,3 .

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