Se , , existe uma tranformação linear tal que para ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de transformação linear aqui. Basicamente, queremos descobrir se existe uma função que, quando aplicada aos vetores e , resulta nos vetores e respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e verificar se é possível fazer essa correspondência com os vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz 2x2 tal que . Nosso objetivo é encontrar essa matriz que satisfaça as três equações:
Passo 3
Vamos representar a matriz da seguinte forma:
Agora, aplicando A aos vetores v1, v2 e v3 :
A cdot v1 = a & b c & d 1 -1 = a - b c - d = 1 0 = w1
A cdot v2 = a & b c & d 2 -1 = 2a - b 2c - d = 0 1 = w2
A cdot v3 = a & b c & d -3 2 = -3a + 2b -3c + 2d = 1 1 = w3
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações:
a - b = 1
c - d = 0
2a - b = 0
2c - d = 1
-3a + 2b = 1
-3c + 2d = 1
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação c - d = 0 , temos que c = d .
Da quarta equação 2c - d = 1 , substituindo c = d :
2d - d = d = 1 Rightarrow d = 1 Rightarrow c = 1
Passo 6
Agora, vamos para as equações envolvendo a e b :
Da primeira equação a - b = 1 e da terceira 2a - b = 0 .
Subtraindo a primeira da terceira:
(2a - b) - (a - b) = 0 - 1 2a - b - a + b = -1 a = -1
Substituindo a = -1 na primeira equação:
-1 - b = 1 -b = 2 b = -2
Passo 7
Agora, vamos verificar a quinta e sexta equações com os valores encontrados:
Para a quinta equação -3a + 2b = 1 :
-3(-1) + 2(-2) = 3 - 4 = -1 neq 1
Aqui já vemos um problema: -1 não é igual a 1 . Isso indica que não há consistência nas equações.
Passo 8
Como as equações resultaram em uma contradição, isso significa que não existe uma transformação linear T que satisfaça todas as três condições dadas simultaneamente.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear T: R^2 R^2 que satisfaça T(vi) = wi para i=1,2,3 .