Considere as seguintes transformações lineares;
  1. T: R^2 R^2, T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y).
  2. T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z).
  3. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-2 y-z,-x+2 y+z, x-3 z).
  4. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-3 y, x-z, z-x).
    Para cada uma delas, determine a imagem, uma base para a imagem e sua dimensão. T é sobrejetiva? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem quatro transformações diferentes e precisa descobrir a imagem de cada uma, encontrar uma base para essa imagem, determinar a sua dimensão e ver se cada transformação é sobrejetiva (ou seja, se ela cobre todo o espaço de chegada). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, bases e rangos de matrizes.

Passo 2

Transformação 1:
T: R^2 R^2, T(x, y) = (3x - y, -3x + y)
Primeiro, vamos escrever a transformação como uma matriz:
A = 3 & -1 -3 & 1

Passo 3

Para encontrar a imagem, precisamos ver o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar se as colunas são lineares:
Coluna 2 = -1 times Coluna 1
Então, a imagem é gerada por uma única coluna:
Ima>=m(T) = Span 3 -3

Passo 4

A base para a imagem é o conjunto que gera esse espaço:
Base = 3 -3
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, então:
Dimensão = 1 ã

Passo 5

Para saber se T é sobrejetiva, verificamos se a imagem é igual ao espaço de chegada R^2 . Como a imagem é unidimensional e R^2 é bidimensional, T não é sobrejetiva.

Passo 6

Transformação 2:
T: R^3 R^2, T(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x - y + z)
A matriz associada é:
A = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 1

Passo 7

Vamos determinar o posto dessa matriz. Calculamos o determinante das submatrizes 2 times 2 :
Det = 1 times (-1) - 2 times 2 = -1 - 4 = -5 neq 0
Então, o posto é 2, o que significa que a imagem é todo R^2 .

Passo 8

A base para a imagem é formada pelas colunas da matriz que são lineares independentes. Aqui, temos:
Base = 1 2 , 2 -1
A dimensão da imagem é:
Dimensão = 2 ã

Passo 9

Como a imagem é igual ao espaço de chegada R^2 , a transformação T é sobrejetiva.

Passo 10

Transformação 3:
T: R^3 R^3, T(x, y, z) = (x - 2y - z, -x + 2y + z, x - 3z)
A matriz associada é:
A = 1 & -2 & -1 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3

Passo 11

Vamos encontrar o posto dessa matriz. Fazendo operações de linha:
  1. R2 = R2 + R1 :
1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -3
  1. R3 = R3 - R1 :
1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 0 & 2 & -2
  1. R3 = R3 / 2 :
1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1
Agora, o posto é 2.

Passo 12

A imagem é um subespaço de R^3 com dimensão 2. Podemos escolher duas colunas independentes como base:
Base = 1 -1 1 , -2 2 0
A dimensão da imagem é:
Dimensão = 2 ã

Passo 13

Para verificar a sobrejetividade, comparamos a dimensão da imagem com o espaço de chegada R^3 . Como Dimensão = 2 < 3 ã, T não é sobrejetiva.

Passo 14

Transformação 4:
T: R^3 R^3, T(x, y, z) = (x - 3y, x - z, z - x)
A matriz associada é:
A = 1 & -3 & 0 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1

Passo 15

Vamos determinar o posto dessa matriz:
  1. R2 = R2 - R1 :
1 & -3 & 0 0 & 3 & -1 -1 & 0 & 1
  1. R3 = R3 + R1 :
1 & -3 & 0 0 & 3 & -1 0 & -3 & 1
  1. R3 = R3 + R2 :
1 & -3 & 0 0 & 3 & -1 0 & 0 & 0
O posto é 2.

Passo 16

A imagem é um subespaço de R^3 com dimensão 2. Podemos escolher duas colunas independentes como base:
Base = 1 1 -1 , -3 0 0
A dimensão da imagem é:
Dimensão = 2 ã

Passo 17

Como a dimensão da imagem é 2 e o espaço de chegada é R^3 , T não é sobrejetiva.

Resposta

  1. Transformação 1:
    • Imagem: Span 3 -3
    • Base: 3 -3
    • Dimensão: 1
    • Sobrejetiva: Não
  2. Transformação 2:
    • Imagem: R^2
    • Base: 1 2 , 2 -1
    • Dimensão: 2
    • Sobrejetiva: Sim
  3. Transformação 3:
    • Imagem: Subespaço de R^3 com dimensão 2
    • Base: 1 -1 1 , -2 2 0
    • Dimensão: 2
    • Sobrejetiva: Não
  4. Transformação 4:
    • Imagem: Subespaço de R^3 com dimensão 2
    • Base: 1 1 -1 , -3 0 0
    • Dimensão: 2
    • Sobrejetiva: Não

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