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Para cada uma delas, determine a imagem, uma base para a imagem e sua dimensão. é sobrejetiva? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem quatro transformações diferentes e precisa descobrir a imagem de cada uma, encontrar uma base para essa imagem, determinar a sua dimensão e ver se cada transformação é sobrejetiva (ou seja, se ela cobre todo o espaço de chegada). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, bases e rangos de matrizes.
Passo 2
Transformação 1:
Primeiro, vamos escrever a transformação como uma matriz:
Passo 3
Para encontrar a imagem, precisamos ver o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar se as colunas são lineares:
Coluna 2 = -1 times Coluna 1
Então, a imagem é gerada por uma única coluna:
Ima>=m(T) = Span 3 -3
Passo 4
A base para a imagem é o conjunto que gera esse espaço:
Base = 3 -3
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, então:
Dimensão = 1 ã
Passo 5
Para saber se T é sobrejetiva, verificamos se a imagem é igual ao espaço de chegada R^2 . Como a imagem é unidimensional e R^2 é bidimensional, T não é sobrejetiva.
Passo 6
Transformação 2:
T: R^3 R^2, T(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x - y + z)
A matriz associada é:
A = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 1
Passo 7
Vamos determinar o posto dessa matriz. Calculamos o determinante das submatrizes 2 times 2 :
Det = 1 times (-1) - 2 times 2 = -1 - 4 = -5 neq 0
Então, o posto é 2, o que significa que a imagem é todo R^2 .
Passo 8
A base para a imagem é formada pelas colunas da matriz que são lineares independentes. Aqui, temos:
Base = 1 2 , 2 -1
A dimensão da imagem é:
Dimensão = 2 ã
Passo 9
Como a imagem é igual ao espaço de chegada R^2 , a transformação T é sobrejetiva.
Passo 10
Transformação 3:
T: R^3 R^3, T(x, y, z) = (x - 2y - z, -x + 2y + z, x - 3z)
A matriz associada é:
A = 1 & -2 & -1 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3
Passo 11
Vamos encontrar o posto dessa matriz. Fazendo operações de linha:
R2 = R2 + R1 :
1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -3
R3 = R3 - R1 :
1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 0 & 2 & -2
R3 = R3 / 2 :
1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1
Agora, o posto é 2.
Passo 12
A imagem é um subespaço de R^3 com dimensão 2. Podemos escolher duas colunas independentes como base:
Base = 1 -1 1 , -2 2 0
A dimensão da imagem é:
Dimensão = 2 ã
Passo 13
Para verificar a sobrejetividade, comparamos a dimensão da imagem com o espaço de chegada R^3 . Como Dimensão = 2 < 3 ã, T não é sobrejetiva.
Passo 14
Transformação 4:
T: R^3 R^3, T(x, y, z) = (x - 3y, x - z, z - x)
A matriz associada é:
A = 1 & -3 & 0 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1
Passo 15
Vamos determinar o posto dessa matriz:
R2 = R2 - R1 :
1 & -3 & 0 0 & 3 & -1 -1 & 0 & 1
R3 = R3 + R1 :
1 & -3 & 0 0 & 3 & -1 0 & -3 & 1
R3 = R3 + R2 :
1 & -3 & 0 0 & 3 & -1 0 & 0 & 0
O posto é 2.
Passo 16
A imagem é um subespaço de R^3 com dimensão 2. Podemos escolher duas colunas independentes como base:
Base = 1 1 -1 , -3 0 0
A dimensão da imagem é:
Dimensão = 2 ã
Passo 17
Como a dimensão da imagem é 2 e o espaço de chegada é R^3 , T não é sobrejetiva.