Considere as seguintes transformações lineares;
  1. T: R^2 R^2, T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y).
  2. T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z).
  3. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-2 y-z,-x+2 y+z, x-3 z).
  4. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-3 y, x-z, z-x).
    Para cada uma delas, determine o núcleo, uma base para o núcleo e sua dimensão. T é injetiva? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A parada aqui envolve encontrar o núcleo (ou kernel) de cada transformação, achar uma base para ele, determinar sua dimensão e ver se a transformação é injetiva. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Transformação 1: T: R^2 R^2, T(x, y) = (3x - y, -3x + y)
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T . O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y) em R^2 que são mapeados para o vetor zero em R^2 .
Então, queremos resolver:
3x - y = 0 -3x + y = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
(3x - y) + (-3x + y) = 0 + 0 0 = 0
Isso nos diz que as duas equações são dependentes e essencialmente a mesma equação. Então, podemos resolver 3x - y = 0 para y :
y = 3x
Isso significa que qualquer vetor no núcleo tem a forma (x, 3x) , onde x é qualquer número real.

Passo 4

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como y = 3x , podemos escrever o núcleo como todos os múltiplos de (1, 3) :
Núc<=o = x(1, 3) mid x in R ú
Então, uma base para o núcleo é:
(1, 3)

Passo 5

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Aqui, temos apenas um vetor na base, então:
Dimensão do Núc<=o = 1 ãú

Passo 6

Para verificar se T é injetiva, lembramos que uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. Mas aqui, o núcleo tem dimensão 1, ou seja, além do vetor zero, existem outros vetores no núcleo. Portanto:
T não é injetiva ãé

Passo 7

Transformação 2: T: R^3 R^2, T(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x - y + z)
Vamos encontrar o núcleo de T . Queremos resolver:
x + 2y - z = 0 2x - y + z = 0

Passo 8

Resolvendo o sistema, podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos somar as duas equações:
(x + 2y - z) + (2x - y + z) = 0 + 0 3x + y = 0 y = -3x
Agora, substituímos y = -3x na primeira equação:
x + 2(-3x) - z = 0 x - 6x - z = 0 -5x - z = 0 z = -5x
Então, os vetores no núcleo têm a forma (x, -3x, -5x) , onde x é real.

Passo 9

Uma base para o núcleo é os múltiplos de (1, -3, -5) :
Núc<=o = x(1, -3, -5) mid x in R ú
Portanto, uma base é:
(1, -3, -5)

Passo 10

A dimensão do núcleo é 1, já que há um vetor na base.

Passo 11

Como o núcleo contém mais que apenas o vetor zero, T não é injetiva.

Passo 12

Transformação 3: T: R^3 R^3, T(x, y, z) = (x - 2y - z, -x + 2y + z, x - 3z)
Vamos encontrar o núcleo de T , ou seja, resolver:
x - 2y - z = 0 -x + 2y + z = 0 x - 3z = 0

Passo 13

Somando a primeira e a segunda equação:
(x - 2y - z) + (-x + 2y + z) = 0 + 0 0 = 0
Isso indica que a terceira equação é independente. Usando a terceira equação:
x = 3z
Substituindo x = 3z na primeira equação:
3z - 2y - z = 0 2z - 2y = 0 y = z
Então, os vetores no núcleo têm a forma (3z, z, z) , onde z é real.

Passo 14

Uma base para o núcleo é os múltiplos de (3, 1, 1) :
Núc<=o = z(3, 1, 1) mid z in R ú
Portanto, uma base é:
(3, 1, 1)

Passo 15

A dimensão do núcleo é 1, já que temos um vetor na base.

Passo 16

Como o núcleo contém mais que apenas o vetor zero, T não é injetiva.

Passo 17

Transformação 4: T: R^3 R^3, T(x, y, z) = (x - 3y, x - z, z - x)
Vamos encontrar o núcleo de T , ou seja, resolver:
x - 3y = 0 x - z = 0 z - x = 0

Passo 18

Observando as equações, percebemos que a segunda e a terceira equação são equivalentes:
x - z = 0 Rightarrow x = z z - x = 0 Rightarrow z = x
Então, temos:
x = z
E da primeira equação:
x - 3y = 0 Rightarrow x = 3y
Portanto, temos:
x = 3y z = 3y
Então, os vetores no núcleo são da forma (3y, y, 3y) , onde y é real.

Passo 19

Uma base para o núcleo é os múltiplos de (3, 1, 3) :
Núc<=o = y(3, 1, 3) mid y in R ú
Portanto, uma base é:
(3, 1, 3)

Passo 20

A dimensão do núcleo é 1, já que temos um vetor na base.

Passo 21

Como o núcleo contém mais que apenas o vetor zero, T não é injetiva.

Resposta

Para cada transformação linear dada:
  1. Transformação 1:
    • Núcleo: (x, 3x) mid x in R
    • Base do núcleo: (1, 3)
    • Dimensão: 1
    • Injetiva? Não.
  2. Transformação 2:
    • Núcleo: (x, -3x, -5x) mid x in R
    • Base do núcleo: (1, -3, -5)
    • Dimensão: 1
    • Injetiva? Não.
  3. Transformação 3:
    • Núcleo: (3z, z, z) mid z in R
    • Base do núcleo: (3, 1, 1)
    • Dimensão: 1
    • Injetiva? Não.
  4. Transformação 4:
    • Núcleo: (3y, y, 3y) mid y in R
    • Base do núcleo: (3, 1, 3)
    • Dimensão: 1
    • Injetiva? Não.
Em todas as transformações, o núcleo possui dimensão 1, o que significa que há infinitas soluções além do vetor zero. Portanto, nenhuma das transformações é injetiva.

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