Considere o espaço vetorial V=R^3.
Mostre que alpha=(1,1,-1),(2,-1,0),(3,2,0) é uma base do R^3.

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. O espaço vetorial é R^3, que basicamente significa que estamos trabalhando com vetores de três dimensões. A questão quer saber se o conjunto alpha = (1,1,-1),(2,-1,0),(3,2,0) é uma base desse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Para testar isso, a gente monta uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 2 & 3 1 & -1 & 2 -1 & 0 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso indica que os vetores são linearmente independentes.
det(A) = 1 times (-1 times 0 - 2 times 0) - 2 times (1 times 0 - (-1) times (-1)) + 3 times (1 times 0 - (-1) times (-1))
Simplificando:
det(A) = 1 times 0 - 2 times (0 - 1) + 3 times (0 - 1) = 0 + 2 - 3 = -1

Passo 4

Como o determinante é -1 e diferente de zero, isso confirma que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Além disso, como estamos em R^3 e temos três vetores que são linearmente independentes, isso significa que eles também geram todo o espaço R^3. Portanto, eles formam uma base.

Resposta

Sim, o conjunto alpha = (1,1,-1),(2,-1,0),(3,2,0) é uma base do espaço vetorial R^3.

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