Considere o espaço vetorial M2 times 2 com a base canônica, isto é,
B=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
usando a ideia do exercício (14), defina um produto interno para este espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos um produto interno em M2times2, o espaço de todas as matrizes 2times2, usando a base canônica
B=lE11,E12,E21,E22r,
em que Eij tem 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares. Vamos usar a ideia de que M2times2 é isomorfo a R^4 e transferir o produto escalar usual.

Passo 2

Lembramos que um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= deve ser bilinear, simétrico e positivo–definido, ou seja, para todas as matrizes A,B,C e escalar alpha:
  1. lang<= A+B,Crang<= = lang<= A,Crang<= + lang<= B,Crang<= e lang<= alpha A,Crang<= = alphalang<= A,Crang<=.
  2. lang<= A,Brang<= = lang<= B,Arang<=.
  3. lang<= A,Arang<= >=0 e lang<= A,Arang<==0 somente se A for a matriz zero.

Passo 3

Definimos para A=(aij) e B=(bij) em M2times2 o produto interno
lang<= A,Brang<= ;=;trl(A^T,Br) ;=;sumi=1^2sumj=1^2aij,bij

Passo 4

Verificações rápidas:
– Bilinearidade em A:
trl((alpha A1+A2)^T Br)=alpha,tr(A1^T B)+tr(A2^T B)
– Simetria:
tr(A^T B)=trl((B^T A)r)=lang<= B,Arang<=
– Positividade:
lang<= A,Arang<==sum aij^2>=0, e é zero só se todos os aij=0, isto é, A=0.

Resposta

Um produto interno em M2times2 é dado por
boxedlang<= A,Brang<= = tr(A^T B) = sumi,j=1^2 aij,bij

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