Considere o espaço vetorial com a base canônica, isto é,
usando a ideia do exercício (14), defina um produto interno para este espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos um produto interno em M2times2, o espaço de todas as matrizes 2times2, usando a base canônica
B=lE11,E12,E21,E22r,
em que Eij tem 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares. Vamos usar a ideia de que M2times2 é isomorfo a R^4 e transferir o produto escalar usual.
Passo 2
Lembramos que um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= deve ser bilinear, simétrico e positivo–definido, ou seja, para todas as matrizes A,B,C e escalar alpha:
Verificações rápidas:
– Bilinearidade em A: trl((alpha A1+A2)^T Br)=alpha,tr(A1^T B)+tr(A2^T B)
– Simetria: tr(A^T B)=trl((B^T A)r)=lang<= B,Arang<=
– Positividade: lang<= A,Arang<==sum aij^2>=0, e é zero só se todos os aij=0, isto é, A=0.
Resposta
Um produto interno em M2times2 é dado por
boxedlang<= A,Brang<= = tr(A^T B) = sumi,j=1^2 aij,bij