Considere o subespaço U do R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,1,1,1), v2=(1,1,2,4), v3=(1,2,-4,-3) e v4=(3,4,-1,2)
Encontre:
uma base ortonormal de U.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço UsubsetR^4 gerado por
v1=(1,1,1,1), v2=(1,1,2,4), v3=(1,2,-4,-3), v4=(3,4,-1,2)
O conteúdo é o processo de Ortogonalização e Normalização (Gram–Schmidt). Vamos extrair um conjunto ortogonal a partir de v1,v2,v3,v4, verificar a dimensão de U e então normalizar os vetores não nulos.

Passo 2

Escolhemos u1=v1=(1,1,1,1). Em seguida ortogonalizamos v2 em relação a u1:
proju1(v2) =lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =84u1=2,(1,1,1,1)=(2,2,2,2)
Então
u2=v2-proju1(v2) =(1,1,2,4)-(2,2,2,2)=(-1,-1,0,2)

Passo 3

Agora ortogonalizamos v3 em relação a u1 e u2. Primeiro
w = v3-lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 =(1,2,-4,-3)--44(1,1,1,1) =(2,3,-3,-2)
Depois
proju2(w) =lang<= w,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=u2 =-96(-1,-1,0,2) =l(tfrac32,tfrac32,0,-3r),
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u3=w-proju2(w) =(2,3,-3,-2)-l(tfrac32,tfrac32,0,-3r) =l(tfrac12,tfrac32,-3,1r)

Passo 4

Verificamos que v4 não gera nova direção: aplicando Gram–Schmidt sobre v4 em relação a u1,u2,u3 obtém-se zero. Assim dim U=3. Agora normalizamos:
|u1|=raiz4=2, |u2|=raiz6, |u3|=raiztfrac14+tfrac94+9+1=raiztfrac252=5raiz2
Definimos
e1=u1|u1|=l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r), e2=u2|u2|=1raiz6(-1,-1,0,2),
e3=u3|u3| =raiz25l(tfrac12,tfrac32,-3,1r) =l(tfracraiz210,tfrac3raiz210,-tfrac3raiz25,tfracraiz25r)

Resposta

Uma possível base ortonormal de U é
e1=l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r), e2=1raiz6(-1,-1,0,2), e3=l(tfracraiz210,tfrac3raiz210,-tfrac3raiz25,tfracraiz25r)

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