Considere o espaço vetorial (V=M2 times 2(R),+, cdot) o conjunto das matrizes 2 times 2, com entradas reais e as operações usuais.
Quais dos seguintes vetores de v in V=M2 times 2(R) se escreve como CL de T:
T=u1=(cc 4 & 0 -2 & -2 ), u2=(cc 1 & -1 2 & 3 ), u3=(cc 0 & 2 1 & 4 ) subset V=M2 times 2(R)
v=(cc 6 & -8 -1 & -8 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial formado por matrizes 2 times 2 com entradas reais, e nos foram dadas três matrizes u1, u2, u3 que pertencem a esse espaço. A pergunta é: a matriz v que foi fornecida pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes u1, u2, u3 ? Ou seja, existe uma maneira de combinar essas três matrizes usando multiplicação por escalares e soma para chegar na matriz v ? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizer que uma matriz v é uma combinação linear das matrizes u1, u2, u3 significa que existem números reais a, b, c tais que:
a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 = v
Isso se traduz em uma equação onde multiplicamos cada matriz ui pelo escalar correspondente e somamos os resultados para obter v .

Passo 3

Vamos escrever essa equação detalhadamente usando as matrizes fornecidas:
a 4 & 0 -2 & -2 + b 1 & -1 2 & 3 + c 0 & 2 1 & 4 = 6 & -8 -1 & -8
Isso resulta em:
4a + b + 0c & 0a - b + 2c -2a + 2b + c & -2a + 3b + 4c = 6 & -8 -1 & -8

Passo 4

Agora, igualamos cada posição das matrizes para obter um sistema de equações:
  1. 4a + b = 6 (posição superior esquerda)
  2. -b + 2c = -8 (posição superior direita)
  3. -2a + 2b + c = -1 (posição inferior esquerda)
  4. -2a + 3b + 4c = -8 (posição inferior direita)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começaremos pela segunda equação para expressar b em termos de c :
-b + 2c = -8 implies b = 2c + 8

Passo 6

Substituímos b na primeira equação:
4a + (2c + 8) = 6 implies 4a + 2c + 8 = 6 implies 4a + 2c = -2 implies 2a + c = -1 (Equação , 5) çã

Passo 7

Agora, substituímos b = 2c + 8 na terceira equação:
-2a + 2(2c + 8) + c = -1 implies -2a + 4c + 16 + c = -1 implies -2a + 5c = -17 (Equação , 6) çã

Passo 8

Temos agora duas equações com duas incógnitas:
  1. 2a + c = -1 (Equação 5)
  2. -2a + 5c = -17 (Equação 6)
Vamos somar as duas equações para eliminar a :
(2a + c) + (-2a + 5c) = -1 + (-17) implies 6c = -18 implies c = -3

Passo 9

Com c = -3 , substituímos na Equação 5 para encontrar a :
2a + (-3) = -1 implies 2a = 2 implies a = 1

Passo 10

Agora que temos a = 1 e c = -3 , substituímos na expressão para b :
b = 2c + 8 = 2(-3) + 8 = -6 + 8 = 2

Passo 11

Verificamos se esses valores satisfazem a quarta equação do sistema para garantir a consistência:
-2(1) + 3(2) + 4(-3) = -2 + 6 - 12 = -8
A igualdade é verdadeira, então nossas soluções estão corretas.

Resposta

A matriz v pode ser escrita como uma combinação linear de u1, u2, u3 com os coeficientes a = 1 , b = 2 e c = -3 . Ou seja,
v = 1 cdot u1 + 2 cdot u2 - 3 cdot u3

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