Considere o espaço vetorial o conjunto das matrizes , com entradas reais e as operações usuais.
Quais dos seguintes vetores de se escreve como CL de :
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial formado por matrizes com entradas reais, e nos foram dadas três matrizes que pertencem a esse espaço. A pergunta é: a matriz que foi fornecida pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes ? Ou seja, existe uma maneira de combinar essas três matrizes usando multiplicação por escalares e soma para chegar na matriz ? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizer que uma matriz é uma combinação linear das matrizes significa que existem números reais tais que:
Isso se traduz em uma equação onde multiplicamos cada matriz pelo escalar correspondente e somamos os resultados para obter .
Passo 3
Vamos escrever essa equação detalhadamente usando as matrizes fornecidas:
Isso resulta em:
4a + b + 0c & 0a - b + 2c -2a + 2b + c & -2a + 3b + 4c = 6 & -8 -1 & -8
Passo 4
Agora, igualamos cada posição das matrizes para obter um sistema de equações:
4a + b = 6 (posição superior esquerda)
-b + 2c = -8 (posição superior direita)
-2a + 2b + c = -1 (posição inferior esquerda)
-2a + 3b + 4c = -8 (posição inferior direita)
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começaremos pela segunda equação para expressar b em termos de c :