Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais. Determine se os seguintes subconjuntos de V=R^3, são LI ou LD :
L=u1=(1,-2,1), u2=(2,1,-1), u3=(7,-4,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores no espaço tridimensional R^3 chamado L = u1, u2, u3, onde:
  • u1 = (1, -2, 1)
  • u2 = (2, 1, -1)
  • u3 = (7, -4, 1)
A questão é saber se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes:
  • Linearmente Independentes (LI): Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, a única solução para a equação c1u1 + c2u2 + c3u3 = 0 é c1 = c2 = c3 = 0.
  • Linearmente Dependentes (LD): Pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Existe alguma solução não trivial (não todas zeros) para a equação c1u1 + c2u2 + c3u3 = 0.

Passo 3

Para verificar isso de forma prática, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for zero, são LD.
Vamos montar a matriz A:
A = 1 & 2 & 7 -2 & 1 & -4 1 & -1 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot (-4) cdot 1 + 7 cdot (-2) cdot (-1) - [7 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot (-2) cdot 1 + 1 cdot (-4) cdot (-1)]
Simplificando os termos:
det(A) = (1) + (-8) + (14) - [7 + (4) + 4]
det(A) = 7 - 15 = -8

Passo 5

Como o determinante det(A) = -8 é diferente de zero, isso significa que os vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes (LI).

Resposta

Os vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes (LI).

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