Seja o espaço vetorial com as operações usuais. Determine se os seguintes subconjuntos de , são LI ou LD :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores no espaço tridimensional chamado , onde:
A questão é saber se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes:
Linearmente Independentes (LI): Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, a única solução para a equação é .
Linearmente Dependentes (LD): Pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Existe alguma solução não trivial (não todas zeros) para a equação .
Passo 3
Para verificar isso de forma prática, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for zero, são LD.
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar: