Considere o espaço vetorial de todas as matrizes . Então
a) Verifique que os conjuntos abaixo
são subespaços vetoriais de .
b) Verifique que .
c) Você acha que ? Caso ache que não, você consegue exibir algum elemento? Se conseguir exibir algum elemento, você conseguiria exibir outro distinto do primeiro?
d) Pelo item b), podemos escrever qualquer matriz como a soma de um elemento em com outro em . Você acha que essa maneira de escrever é única? Caso ache que não, então dê um exemplo mostrando isso!
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial e os subconjuntos
Precisamos (a) mostrar que e são subespaços vetoriais, (b) provar que , (c) descrever e dar exemplos de elementos distintos, e (d) verificar se a decomposição de uma matriz em soma de um elemento de com um de é única.
Passo 2
Para exibir que é subespaço note que a matriz nula está em . Sejam . Como as entradas acima da diagonal de e de são zero, em também são zero, logo . Para qualquer escalar , as entradas de acima da diagonal são vezes zero, isto é zero, então . Assim é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o zero, logo é subespaço. O mesmo argumento vale para , concluindo que ambos são subespaços de .
Passo 3
Para mostrar que [\mathcal{M}(n\times n)=F_1+F_2), tome uma matriz genérica . Defina por
e seja (é triangular inferior) e (é triangular superior), e claramente . Isso mostra que todo está em .
Passo 4
Uma matriz está em F1cap F2 se for simultaneamente triangular inferior e superior. As entradas fora da diagonal devem ser zero nos dois casos, restando apenas as da diagonal. Logo
F1cap F2 = DinM(ntimes n)mid D é diagonal é
Esse conjunto não é vazio: por exemplo a matriz identidade Iin F1cap F2. Outro exemplo distinto é 2I.
Passo 5
Como F1cap F2 contém matrizes diagonais não nulas, a decomposição de A em L+U não é única. Se A=L+U com Lin F1 e Uin F2 e D for qualquer matriz diagonal, então
A = (L+D) + (U - D),
ainda com L+Din F1 e U-Din F2, mas agora distintos de L e U. Por exemplo, para
A = 1 & 3 4 & 2,
uma escolha é
L = 1 & 0 4 & 2, U = 0 & 3 0 & 0
Se escolhermos D = 5 & 0 0 & 5, obtemos outra decomposição não trivial.
Resposta
(a) F1 e F2 são subespaços vetoriais de M(ntimes n).
(b) M(ntimes n) = F1 + F2.
(c)
F1cap F2 = ,Dmid D é diagonal, é
por exemplo I e 2I.
(d) A decomposição não é única: se A=L+U, então para qualquer diagonal D temos