Considere o espaço vetorial M(n times n) de todas as matrizes n times n. Então
a) Verifique que os conjuntos abaixo
& F1=a in M(n times n) ; a é triangular inferior & F2=a in M(n times n) ; a é triangular superior éé
são subespaços vetoriais de M(n times n).
b) Verifique que M(n times n)=F1+F2.
c) Você acha que F1 cap F2=emptyset? Caso ache que não, você consegue exibir algum elemento? Se conseguir exibir algum elemento, você conseguiria exibir outro distinto do primeiro?
d) Pelo item b), podemos escrever qualquer matriz n times n como a soma de um elemento em F1 com outro em F2. Você acha que essa maneira de escrever é única? Caso ache que não, então dê um exemplo mostrando isso!

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial M(ntimes n) e os subconjuntos
F1 = Ain M(ntimes n)mid A é triangular inferior, é
F2 = Ain M(ntimes n)mid A é triangular superior é
Precisamos (a) mostrar que F1 e F2 são subespaços vetoriais, (b) provar que F1+F2=M(ntimes n), (c) descrever F1cap F2 e dar exemplos de elementos distintos, e (d) verificar se a decomposição de uma matriz em soma de um elemento de F1 com um de F2 é única.

Passo 2

Para exibir que F1 é subespaço note que a matriz nula está em F1. Sejam A,Bin F1. Como as entradas acima da diagonal de A e de B são zero, em A+B também são zero, logo A+Bin F1. Para qualquer escalar lambda, as entradas de lambda A acima da diagonal são lambda vezes zero, isto é zero, então lambda Ain F1. Assim F1 é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o zero, logo é subespaço. O mesmo argumento vale para F2, concluindo que ambos são subespaços de M(ntimes n).

Passo 3

Para mostrar que [\mathcal{M}(n\times n)=F_1+F_2), tome uma matriz genérica . Defina por
e seja (é triangular inferior) e (é triangular superior), e claramente . Isso mostra que todo está em .

Passo 4

Uma matriz está em F1cap F2 se for simultaneamente triangular inferior e superior. As entradas fora da diagonal devem ser zero nos dois casos, restando apenas as da diagonal. Logo
F1cap F2 = DinM(ntimes n)mid D é diagonal é
Esse conjunto não é vazio: por exemplo a matriz identidade Iin F1cap F2. Outro exemplo distinto é 2I.

Passo 5

Como F1cap F2 contém matrizes diagonais não nulas, a decomposição de A em L+U não é única. Se A=L+U com Lin F1 e Uin F2 e D for qualquer matriz diagonal, então
A = (L+D) + (U - D),
ainda com L+Din F1 e U-Din F2, mas agora distintos de L e U. Por exemplo, para
A = 1 & 3 4 & 2,
uma escolha é
L = 1 & 0 4 & 2, U = 0 & 3 0 & 0
Se escolhermos D = 5 & 0 0 & 5, obtemos outra decomposição não trivial.

Resposta

(a) F1 e F2 são subespaços vetoriais de M(ntimes n).
(b) M(ntimes n) = F1 + F2.
(c)
F1cap F2 = ,Dmid D é diagonal, é
por exemplo I e 2I.
(d) A decomposição não é única: se A=L+U, então para qualquer diagonal D temos
A=(L+D)+(U-D),
com L+Din F1 e U-Din F2.

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