Verifique se o conjunto X é L.I.
a) X=m1=(1,1,-1,9), m2=(2,1,1), m3=(1,-9,1,1)
b) X=v1=(1,2), v2=(2,-1), v3=(2,3)
c) X=v1=(-1,2,1), v2=(0,0,0)
d) X=v1=(2,1,-5,6,2)

Passo 1

O enunciado pede para testar a independência linear de cada conjunto de vetores usando a definição: um conjunto w1,dots,wk é linearmente independente se a única solução de
alpha1w1+cdots+alphakwk=0
é alpha1=cdots=alphak=0. Vamos aplicar também critérios rápidos: se há mais vetores do que a dimensão do espaço, o conjunto é linearmente dependente; se existe o vetor zero, o conjunto é dependente; um único vetor não-nulo é independente.

Passo 2

(a) Aqui m1=(1,1,-1,9) e m3=(1,-9,1,1) têm 4 coordenadas, mas m2=(2,1,1) só tem 3. Falta uma coordenada em m2, então o enunciado está inconsistente e não há como verificar independência sem esse dado.

Passo 3

(b) Os vetores vivem em R^2 e são três:
,v1=(1,2),,v2=(2,-1),,v3=(2,3).
Como há mais vetores ( 3) do que a dimensão ( 2), o conjunto é automaticamente linearmente dependente.

Passo 4

(c) O conjunto contém v2=(0,0,0). Qualquer combinação que coloque coeficiente não nulo em v2 já gera soma zero não trivial, portanto o conjunto é linearmente dependente.

Passo 5

(d) Há apenas um vetor v1=(2,1,-5,6,2) e ele é não nulo. Um único vetor não nulo forma um conjunto linearmente independente.

Resposta

(a) não há como verificar (falta coordenada em m2).
(b) linearmente dependente.
(c) linearmente dependente.
(d) linearmente independente.

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