Com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, quais dos subconjuntos abaixo é um subespaço vetorial do espaço vetorial ao qual está inserido.
a)
b)
Passo 1
O enunciado fornece dois subconjuntos, um em R^3 e outro em R^2, e pede para decidir quais são subespaços vetoriais. Lembrando que, para um subconjunto H ser subespaço de um espaço vetorial V, é suficiente (e necessário) que:
0in H (o vetor zero de V pertence a H),
u+vin H para quaisquer u,vin H (fechamento em adição),
lambda uin H para qualquer uin H e lambdainR (fechamento em multiplicação escalar).
Passo 2
Analisando
F = (x,y,z)inR^3 mid 3x + y + 2z = 1,
verificamos já a condição do vetor zero: substituindo (0,0,0) temos
3cdot 0 + 0 + 2cdot 0 = 0 neq 1,
logo (0,0,0)notin F. Como não contém o vetor zero, F falha na condição (1) e portanto não é subespaço.
Passo 3
Concluímos que
F não é subespaço vetorial de R^3 ãéç
Passo 4
Agora examine
Esse é o núcleo (ou espaço nulo) da matriz . Sabe-se que o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço, pois:
– satisfaz ,
– se e então ,
– se então .
Passo 5
Portanto G satisfaz todas as condições de subespaço vetorial e é de fato um subespaço de R^2.
Resposta
F não é subespaço vetorial; G é subespaço vetorial.