Com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, quais dos subconjuntos abaixo é um subespaço vetorial do espaço vetorial ao qual está inserido.
a) F=(x, y, z) in R^3 ; 3 x+y+2 z=1
b) G=(x, y) in R^2 ;[rr3 & -1 2 & 2][lx y]=[l0 0]

Passo 1

O enunciado fornece dois subconjuntos, um em R^3 e outro em R^2, e pede para decidir quais são subespaços vetoriais. Lembrando que, para um subconjunto H ser subespaço de um espaço vetorial V, é suficiente (e necessário) que:
  1. 0in H (o vetor zero de V pertence a H),
  2. u+vin H para quaisquer u,vin H (fechamento em adição),
  3. lambda uin H para qualquer uin H e lambdainR (fechamento em multiplicação escalar).

Passo 2

Analisando
F = (x,y,z)inR^3 mid 3x + y + 2z = 1,
verificamos já a condição do vetor zero: substituindo (0,0,0) temos
3cdot 0 + 0 + 2cdot 0 = 0 neq 1,
logo (0,0,0)notin F. Como não contém o vetor zero, F falha na condição (1) e portanto não é subespaço.

Passo 3

Concluímos que
F não é subespaço vetorial de R^3 ãéç

Passo 4

Agora examine
Esse é o núcleo (ou espaço nulo) da matriz . Sabe-se que o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço, pois:
satisfaz ,
– se e então ,
– se então .

Passo 5

Portanto G satisfaz todas as condições de subespaço vetorial e é de fato um subespaço de R^2.

Resposta

F não é subespaço vetorial;
G é subespaço vetorial.

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