Considere a transformação linear tal que e .
Encontre o núcleo e a imagem de .
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear pelos valores em e . O que precisamos encontrar é o núcleo de (ou seja, todos os tais que ) e a imagem de (o subespaço gerado pelos vetores e ).
Passo 2
Vamos representar pela matriz cujas colunas são e . Assim,
de modo que para todo valha
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação vem , logo . Então . A terceira equação confirma essa solução. Portanto o único vetor do núcleo é o vetor zero.
Passo 4
A imagem de T é o subespaço de R^3 gerado pelas colunas de A, ou seja pelos vetores (2,2,4) e (1,-2,1). Como esses dois vetores são linearmente independentes (não há escalares a,b não triviais tais que a(2,2,4)+b(1,-2,1)=0), a imagem é um plano bidimensional em R^3.