Considere a transformação linear T: R^2 mapsto R^3 tal que T(0,1)=(1,-2,1) e T(1,0)=(2,2,4).
Encontre o núcleo e a imagem de T.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear Tcolon R^2 to R^3 pelos valores em (1,0) e (0,1). O que precisamos encontrar é o núcleo de T (ou seja, todos os (x,y) tais que T(x,y)=0) e a imagem de T (o subespaço gerado pelos vetores T(1,0) e T(0,1)).

Passo 2

Vamos representar pela matriz cujas colunas são e . Assim,
de modo que para todo valha

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação vem , logo . Então . A terceira equação confirma essa solução. Portanto o único vetor do núcleo é o vetor zero.

Passo 4

A imagem de T é o subespaço de R^3 gerado pelas colunas de A, ou seja pelos vetores (2,2,4) e (1,-2,1). Como esses dois vetores são linearmente independentes (não há escalares a,b não triviais tais que a(2,2,4)+b(1,-2,1)=0), a imagem é um plano bidimensional em R^3.

Resposta

O núcleo de T é
ker(T)=(0,0),
e a imagem de T é
Im(T)=spanl(2,2,4),,(1,-2,1)r

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