Considere a transformação linear T: R^2 mapsto R^3 tal que T(0,1)=(1,-2,1) e T(1,0)=(2,2,4).
Encontre a expressão geral de T para qualquer (x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
T:R^2toR^3
cuja ação sobre os vetores da base canônica é
T(1,0)=(2,2,4), T(0,1)=(1,-2,1)
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de linearidade de T e a decomposição de um vetor qualquer (x,y) na base canônica de R^2.

Passo 2

Qualquer vetor (x,y)inR^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base canônica:
(x,y)=x,(1,0)+y,(0,1)
Pela linearidade de T, temos
T(x,y)=Tl(x,(1,0)+y,(0,1)r) =x,T(1,0)+y,T(0,1)

Passo 3

Substituindo as imagens dadas de T(1,0) e T(0,1):
T(x,y) =x,(2,2,4)+y,(1,-2,1) =(2x+y,;2x-2y,;4x+y)

Resposta

T(x,y)=(2x+y,;2x-2y,;4x+y)

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