Seja V espaço vetorial de dimensão 3 . Seja beta=g1, g2, g3 base de V e F uma transformação linear, tal que F(g1)=g3 e que deixa fixo os vetores de
W=x g1+y g2+z g3: x-y-z=0

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 3, com base beta = g1,g2,g3. Define-se a transformação linear F:Vto V por
  1. ;F(g1) = g3
  2. F deixa fixos todos os vetores do subespaço
W = ,x,g1 + y,g2 + z,g3 : x - y - z = 0
O conteúdo envolve usar a invariância de W para descobrir F(g2) e F(g3) e, tipicamente, montar a matriz de F na base beta.

Passo 2

Para qualquer win W, vale F(w)=w. Note que dois vetores que geram W são
u = g1+g2, v = g1+g3,
pois em ambos x-y-z=0. Logo
F(u)=u, F(v)=v

Passo 3

Expressamos g2 e g3 em termos de u,v e g1:
g2 = u - g1, g3 = v - g1
Aplicando F:
F(g2) = F(u) - F(g1) = (g1+g2) - g3 = g1 + g2 - g3,
F(g3) = F(v) - F(g1) = (g1+g3) - g3 = g1

Passo 4

Agora obtemos as colunas da matriz [F]beta pelas coordenadas de F(g1),F(g2),F(g3) em beta:
F(g1) = 0,g1+0,g2+1,g3;longrightarrow; 001,
F(g2) = 1,g1+1,g2-1,g3;longrightarrow; 11-1,
F(g3) = 1,g1+0,g2+0,g3;longrightarrow; 100
Portanto
[F]beta = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0

Resposta

Não é possível prosseguir além da construção de [F]beta porque o enunciado não especifica qual outra informação (polinômio característico, determinante, etc.) deve ser obtida.

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