Considere o espaço vetorial V=F(R ; R). Fixada a função g: R longrightarrow R, mostre que o conjunto F1=f in F(R ; R) mid f(g(x))=f(x) é um subespaço vetorial de F(R ; R).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial
V = F(R;R),
isto é, o conjunto de todas as funções de R em R, com soma ponto a ponto e multiplicação por escalar. Fixada uma função g:RtoR, definimos
F1 = l,fin V mid f(g(x)) = f(x) para todo xinRr
Queremos mostrar que F1 é um subespaço de V, ou seja, que F1 não é vazio, e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que a função zero, dada por f0(x)=0 para todo x, pertence a F1. De fato,
f0(g(x)) = 0 = f0(x)
para todo x, logo f0in F1. Assim F1 não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,hin F1. Então para todo x vale
(f+h)(g(x)) = f(g(x)) + h(g(x)) = f(x) + h(x) = (f+h)(x),
pois f(g(x))=f(x) e h(g(x))=h(x). Portanto f+hin F1.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja alphainR e fin F1. Então para todo x temos
(alpha f)(g(x)) = alpha,f(g(x)) = alpha,f(x) = (alpha f)(x)
Logo alpha fin F1.

Resposta

F1 é um subespaço vetorial de F(R;R).

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