Considere o espaço vetorial
. Fixada a função
, mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
isto é, o conjunto de todas as funções de
em
, com soma ponto a ponto e multiplicação por escalar. Fixada uma função
, definimos
Queremos mostrar que
é um subespaço de
, ou seja, que
não é vazio, e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que a função zero, dada por
para todo
, pertence a
. De fato,
para todo
, logo
. Assim
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então para todo
vale
pois
e
. Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
. Então para todo
temos
Logo
.